Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Xi = Xi + (fi(t) (i = 1, ... , 2га),
где периодические функции <pi(t) периода г изображают координаты в данном периодическом движении. Таким образом, функции Xi, ... , Х2ш, Z [см. формулу (12) на стр. 100] перестают быть независимыми от t и становятся периодическими функциями t периода г, и данное движение теперь соответствует обобщенному равновесию в начале координат в новом пространстве с координатами #i, ... , ж2т. Таким образом, мы приходим к рассмотрению вопроса о движении вблизи подобной точки обобщенного равновесия.
С этим приведением к обобщенному равновесию связано, однако, одно затруднение, на которое для гамильтоновых систем впервые указал Пуанкаре и которое желательно вкратце здесь выяснить.
Аналогично случаю обычного равновесия естественно определить случай устойчивости как такой, когда все множители Ai, ... , Аш — чисто мнимые количества, причем мы предполагаем, что между этими множителями и числом 27Г\/—1/т не существует никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами. Если же таковые соотношения существуют, то подлежащие рассмотрению вопросы принимают более сложный характер.
хО проблеме устойчивости равновесия см. мою статью «Stability and the Equations of Dynamics», Amer. Journ. Math., vol. 49 (1927).
108
Глава 4
Для точки обобщенного равновесия, полученной вышеизложенным способом приведения, множители не будут удовлетворять этому условию ввиду того, что такая система всегда будет иметь множитель, равный нулю(х), который будет, разумеется, двойным. В этом легко убедиться из следующего рассуждения. Пфаффова система имеет интеграл Z = const в первоначальных переменных и, следовательно, интеграл
Z(X! +(р 1, , Х2т + <Р2т) = Const
в новых переменных. Дифференцируя относительно 2т произвольных
постоянных, входящих в общее решение xi, ... , Х2ту мы убеждаемся в том, что линейное соотношение
тР-Ш + ' ' • + -7Г^-У2т = COnst ОХ 1 0X2 т
имеет место для 2га линейно независимых решений ... , у2т уравнений вариации и, следовательно, для любого решения этих уравнений; в этой формуле подразумевается, что аргументами выражений dZ/dx\ (г = 1, ... , 2га) служат ^i, ... , Если теперь все 2т множите-
лей ±Ai, ... , ±АШ различны, то существует полная система 2т решений
yi=PikeXht (г = 1, ...,2т)
при к = 1, ... , 2т (А= —А»), в которых pij суть периодические функции t периода т. Но так как dZ/dxi тоже периодические функции, то подстановка этих решений в линейные интегральные соотношения относительно yi приведет нас немедленно к заключению, что постоянные в правых частях должны обращаться в нуль во всяком случае, если А*. ф 0(2). Но если бы эти постоянные обращались в нуль для такой полной системы решений уравнений вариации, то они должны были бы обращаться в нуль для любого решения у±, ... , у2т- Но этого не может быть, так как для какого-нибудь определенного значения t мы можем величинам yi, ... , у2Ш придать любые значения1.
Следовательно, существуют два решения уравнений вариации, соответствующие множителю 0(3). Но
Xi = ipi(t + к) - (fi(t) (i = 1, ... , 2т)
^сли исключить случай обыкновенного равновесия, то все dZ/dxi не могут одновременно обращаться в нуль вдоль первоначального движения, потому что пфаффовы уравнения дали бы нам тогда dxi/dt — 0 (г = 1, ... , 2га), т. е. обыкновенное равновесие.
Устойчивость периодических движений
109
будет при любом к решением приведенных уравнений, откуда, дифференцируя по к, получим одно из решений уравнений вариации
Это решение имеет периодические (периода г) составляющие 2/1? ••• ? У2т и, следовательно, принадлежит множителю 0(4). С другой стороны, периодическое движение, с которого мы начали свои рассуждения, не изолировано, но изменяется как аналитическая функция постоянной с в известном интеграле (т. е. постоянной энергии в случае уравнений Гамильтона) (5). Это приводит ко второму периодическому решению
принадлежащему множителю 0(6). Вообще говоря, других решений, принадлежащих множителям, равным нулю, не будет.
Это затруднение может быть обойдено следующим образом. Переменную Z мы можем принять за одну из зависимых переменных Ж1, ... , ж2т, скажем, за ж2ш в первоначальном пространстве с координатами х\, ... , ж2т. Кроме того переменная $ = ж2ш_i может быть выбрана как угловая переменная, возрастающая на 27т, когда периодическое движение проходит один период. Остальные координаты х\, ... , Х2т-2 мы можем заставить обращаться в нуль на этой кривой движения(7).
Сосредоточим внимание на тех движениях вблизи данного периодического движения, для которых Z — с имеет то же значение, что и вдоль самого периодического движения. В этом случае порядок пфаффовой системы уравнений понижается до 2т — 1 и переменными будут ... , ж2ш-2? Эту систему можно написать в вариационной форме
причем к этим уравнениям нужно присоединить равенство Z — с. Но подынтегральное выражение представляет собой однородную, размерности один, функцию от х[, ... , xr2m_2J так что мы можем взять $ вместо t в качестве параметра. Вариационный принцип примет тогда вид
2га —2
110
