Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Легко доказать, что это необходимое формальное свойство является в то же время и достаточным. Действительно, пусть ж*, ^ будут вещественные количества, и определим rji как выше, так что ^ будут сопряженными комплексными числами.
Напишем:
& = X2s+1, ... ,x„,i) (i = 1, ... , s)
Vi = ¦ • • •> Vsi ®2»+l> • ¦ • ? Xn, t) {i = 1? • ¦ • г в)
Xi = Xi(?D • • • » Vs, x2s+i, ... ,xn,t) (i = 2s + l, ... ,n)
и предположим, что ряды Xi обладают указанными формальны-
ми свойствами и для начала, что они сходятся. Тогда, если мы обозначим величину, сопряженную с какой-нибудь величиной к знаком к*, то мы можем написать, например,
?* = vfiTn ••• , V*, х2,+1,... ,хп, t) =
= фг {Vl: • • • 5 Cs’ X2s + lj • • • 5 Хп, t) =
= i>i(11, ¦¦¦ ,VS, Х2в+1, ¦¦¦ , Xn,t) = ГЦ,
где ip* обозначает формальный ряд, полученный посредством замены всех коэффициентов в ^ на сопряженные им. Следовательно, & и гц со-
, . . . , #2s+l? • • • 1 %пJ “1“
. . . , X2s-\-h • • • 1 %п
74
Глава 3
пряжены. Подобное же рассуждение показывает, что Х{ будут вещественны (для i = 2s + 1, ... , 2n ).
В случае, когда ряды первоначальной формальной группы расходятся, то ряды для сопряженных переменных могут, разумеется, тоже расходиться. Но вышеприведенное формальное свойство сохраняется и в этом случае, в чем можно легко убедиться, обрывая ряды где-нибудь на членах высоких степеней и применяя далее то же рассуждение, что и выше.
В качестве очень простого примера перехода от вещественных к сопряженным комплексным переменным рассмотрим преобразование, которое в вещественном виде производится над парой переменных ж, у и имеет вид:
х = х cos($ + t — cf2) — у sin($ + t — cr2),
у = ?sin($ + t — cf2) +y cos($ + t — cf2) (f2 = x2 + y2).
Это преобразование, очевидно, принадлежит к рассматриваемой формальной группе и имеет период т = 2тт. Переходя к соответственной паре сопряженных комплексных переменных ту, легко найдем
и сразу убеждаемся, что правые части формул обладают требуемым характеристическим свойством.
§ 3. Формальные решения. Предположим, что в рассматриваемую систему (3) дифференциальных уравнений мы подставим
Xi = Fi(t, Cl ... , с„) (г = 1, ... , п), (5)
где F{ суть формальные степенные ряды относительно п произвольных постоянных ci, ... , сп, не имеющие свободного члена и притом такие, что определитель dFi/dcj в начале координат (т.е. в точке с\ = ... = = сп = 0) не обращается в нуль ни при каком значении t и что коэффициенты этих рядов — вещественные аналитические функции от t. Может случиться, что полученные таким образом п равенств будут в формальном смысле удовлетворяться тождественно относительно t и Ci. В этом случае мы скажем, что ряды (5) дают «формальное общее решение» рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.
В частном случае может оказаться, что коэффициенты функций F{ являются периодическими функциями t с периодом г. В этом случае мы будем иметь соответствующее преобразование
Xi = Fi(t, 3/1, ... , Уп) (i = l, , га),
Формальное рассмотрение динамических систем
75
принадлежащее формальной группе. Если преобразованная формальная система дифференциальных уравнений будет
^ =Yi(y1, ... ,yn,t) (i = l, ... ,п), то мы имеем формальные равенства:
ж=х^ *) «).
3 =1 3
в которых аргументами F{ являются, разумеется, г/i, ... , ?/n, t. Но утверждение, что F{ дает формальное решение, означает как раз, что
<L±=Xi(Fu...,Fn,t) (i — 1, ... , гг),
причем аргументами рядов F{ в этом равенстве будут уже не ... , уп, а сь ... , сп.
Если мы теперь заменим в последней формуле ci, ... , сп соответственно на ух, ... , з/п, что, разумеется, всегда возможно, и сравним получившиеся тождества с предыдущими, то убедимся, что
откуда, очевидно, Y{ = 0 (г = 1, ... , гг). Следовательно, рассматриваемый случай оказывается таким частным случаем, в котором данная система дифференциальных уравнений может быть формально преобразована к нормальному виду
посредством преобразования, принадлежащего к рассматриваемой формальной группе. Как мы увидим ниже, в общем случае подобное преобразование невозможно.
Если над переменными уравнений (3) произвести преобразование, принадлежащее нашей формальной группе, то всякое формальное общее решение (5) преобразуется в формальное общее решение преобразованных уравнений.
76
Глава 3
Чтобы проще показать это, расширим временно формальную группу, включив в нее преобразования, коэффициенты которых суть непериодические аналитические функции t. К этой расширенной группе принадлежит, между прочим, преобразование, получаемое из формулы (5) заменой ci, ... , сп на г/i, ••• , Ут которое превращает данные уравнения в систему уравнений, для которых Y{ — 0 (г = 1, ... , п). Но преобразованная система с переменными жг-, ... , хп может быть приведена к этому виду непосредственно путем преобразования, являющегося композицией преобразований от Х{ к Х{ и от Х{ к у{. А это как раз обозначает, что общее решение преобразованной системы может быть получено путем преобразования общего решения первоначальной системы. Это рассуждение предполагает, что формальные законы преобразований остаются в силе и в распространенной формальной группе.
