Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
чисто мнимое число, то piy — сопряженные комплексные числа.
Мы докажем теперь, что это линейное преобразование не разрушает гамильтонову форму дифференциальных уравнений.
Заметим, прежде всего, что уравнения вариации могут быть написаны в вариационной гамильтоновой форме:
90
Глава 3
в которой вместо Н поставлены его члены второй степени. После вышеприведенного преобразовании переменных эта формула, очевидно, принимает вид
tx т
5 [ [ Е (KJkPjPk + LjkQjP'k + + NjkQjQ'u) ~ H2] dt = 0,
/0 i.*=i
причем H2 мы можем представить в виде:
т
Н2 = (RjkPjPk + SjkPjQk + TjkQjQk)-
35 к=1
В этих формулах мы опускаем черту над буквами Pj, Qj и т. п. Очевидно, мы можем положить
Rij — Rjii 'Pij — Pji (^5 j — 1? • • • 5 T(l).
Применяя к этому вариационному уравнению обычное лагранжево правило, мы получим уравнения вариации в новых переменных:
m тп
| [?(ВД + LjiQj)} - Y,(KijPj + MijQ’j) +
.7 = 1 3 = 1
m
+ (2RijPj + SijQj) = 0 (г = 1,... , га),
3=1
m rn
I [Y.iMjiPj + NjiQj)] - + JVyQ;-)+
J=1 J=1
m
+ SjiPj + 2TijQj) =0, (г = 1,... , га).
з=i
Но решения этих уравнений известны. В частности, мы имеем решение:
Pi = Sike~Xk\ Qi = 0 (г = 1, ... , га)
которое, будучи подставлено в первое из вышеприведенных уравнений, дает тотчас же
~^к{Кы — Kik) + %Rik = 0.
Формальное рассмотрение динамических систем
91
Переставляя % и к и замечая, что Rki = Rik, получим, далее, для любых ink:
(Xi + Xk)(Kki - Kik) = о,
откуда Kki = Kik при г, отличном от к, так же как и при г = к. Отсюда следует, что Rik равно нулю для всех г и к.
Подобным же образом, пользуясь второй группой уравнений, мы можем показать, что Nki = Nik и что Т(к равно нулю для всех г и к. Таким образом, слагаемые
ш ш
X х NibQjQ'k
j, fe=i i,*=i
оказываются полными производными и могут быть опущены под знаком интегралов в вариационной формуле. Уравнения вариации оказываются, таким образом, следующего, более частного вида:
га га га
^ — ^ ] MijQj + ^ ^ SijQj = 0 (г = 1, ... , га),
А. dt
j=i j=i j=i
га m m
[УЗ — 53 53 = 0 (г = 1, . . . , ш).
d_ dt
3=1 i=1 i=i
Для того, чтобы определить еще точнее эти уравнения, мы подставляем
Pi = 0, Qi = ^кехкг (г = 1, ... , m)
в первую группу этих уравнений и получаем для всех г и к:
А к(М{к Lfoi) + — 0
Подобным же образом из второй группы уравнений получаем для всех i и к:
Xk(Mki Lik) -Ь Ski — о
Переменяя местами г и к в последнем уравнении и сравнивая получившееся уравнение с предыдущим, получим для г ф к:
М{к = Lkii Sik — 0.
Следовательно, сумма
тп
53 (LJkQjPk “1“ M3kPjQk) j, к—1
92
Глава 3
отличается от суммы
т
ТМ'пЯЛ + ЩРзЯЯ,
3 = 1
а, следовательно, и от суммы
т
Y,(Mn - Lj^PjQ'j
3=1
на полную производную.
Таким образом, мы имеем право написать вариационный принцип в виде:
Мц - LaQ\ - SuQi = 0, (Мц - Ьц)Р' + SuPi (г = 1, — , п),
так что мы должны иметь
(Мц — Su (i — 1, • • • , 77l).
Рассмотрим теперь простейший случай, когда все корни А* вещественны. В этом случае, если мы заменим вещественные переменные Рг на
Эта дальнейшая замена переменных законна, так как в этом случае pi, qi были определены только с точностью до постоянного вещественного множителя(7). Отсюда следует, что выражение
1 Постоянные Мц — Ьц не равны нулю, так как уравнения вариации не вырож-
даются.
to j=1 j=1
в наших новых переменных. Уравнения вариации будут1:
т т
Pi = {Мц - Ьц)Р{ (i = 1, , тп),
то, как легко видеть, вариационный принцип примет вид:
т
Формальное рассмотрение динамических систем
93
остается существенно^) того же вида после нашего линейного преобразования.
Другой частный случай имеем, когда все Л* — чисто мнимые количества. В этом случае, выбирая подходящим образом пары pi, qi мы можем, очевидно, написать чисто мнимые количества Мц — Ьц в виде Ргл/—1, где pi > 0(9). Мы можем здесь заменить Pj, Qi на
Pi \/ PiPi 7 Qi у/PiQi 1? • • • ч
после чего получается подобная предыдущей вариационная форма.
Очевидно, что эта самая линейная замена переменных должна сохранять первоначальную гамильтонову форму уравнения, так как выражение
т
з=1
остается существенно того же вида после этого преобразования^0).
Посредством надлежащего линейного преобразования с постоянными коэффициентами любая гамильтонова система с точкой равновесия общего типа может быть приведена к нормальной форме, для которой
га
Я2 = X AjPi«J-(n)
3 =1
§ 8. Проблема точки равновесия для уравнений Гамильтона. Для дальнейшего преобразования уравнений Гамильтона в окрестности точки равновесия применим ряд контактных преобразований
Pi = Ч1=Щ~ (г = 1, ... , т)
% dPi
с функцией К вида
т
К = + к3 + + ... ,
3=1
где if3, К4, ... — однородные функции от pi7 qi (i = 1, ... , га) соответственно третьей, четвертой и т. д. степеней. Мы видели уже, что такие преобразования сохраняют гамильтонову форму уравнений, и что они образуют группу. Заметим, что если все Ks = 0 (s > 2), то преобразование будет тождественным.
94
Глава 3
Мы начнем с того, что примем К8 = 0 для всех s > 3, и постараемся выбрать Кз таким образом, чтобы возможно больше упростить Щ. Мы имеем:
