Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
(с0 + Cl га* + с2га- + ... + cn-1m^~1)pi (i = 1, ... , п)
образуют систему множителей. Но п выражениям, стоящим в скобках, могут быть при надлежащем выборе с0, ... , cn_i приданы любые п значения, так как корни гщ все различны. В частности, коэффициент при каком-нибудь pk ф 0 может быть сделан равным единице, а все остальные — нулю. Но из этого следовало бы, что 1ц. = 0 (г = 1, ... , п), что противоречит сделанным предположениям. Значит, |/^| не может быть равным нулю.
Очевидно, что мы можем выбрать числа \Uj\ таким образом, что в преобразовании
п
Xi = (i = 1, ... , п)
з=1
от переменных Х{ к Z{ переменные Z{ и Zj, соответствующие сопряженным комплексным корням га* и т^ будут иметь сопряженные комплексные значения, когда #i, ... , хп вещественны, и наоборот.
Произведем теперь эту замену переменных в рассматриваемом специальном типе дифференциальных уравнений (1). Уравнения, полученные подстановкой в (1) написанных выше линейных выражений от Z{ вместо будут иметь вид:
dz *
XI li3~dt = lHmiz3 + • • * (* = 1, ... , га),
3 = 1 3 = 1
где точками в правых частях обозначены члены относительно z±,... ,zn выше первой степени. Вид слагаемых в правой части следует из характеристического вида (8) чисел Из этих же формул следует, что уравнения относительно Zi имеют вид:
^ = TUiZi +... (г = 1, ... , п), где выписаны только линейные члены.
80
Глава 3
Таким образом, мы можем привести уравнения к виду:
^ = niiXi + Fi(x 1, ... , хп) (г = 1, ... , га),
причем Fi может быть представлено в виде:
Fi = Fi2 + Ffc + ... (г = 1, ... , га),
где Fa* — однородный полином степени к относительно х\, ... , хп. Мы покажем теперь, что можно построить формальные ряды
(Pi(x 1, ... , хп) = <pi2 + (fib + ... (i = 1, ... , га)
такие, что преобразование
xi = Xi + ipi (i = 1, ... , га)
приведет наши дифференциальные уравнения к виду:
^ = rriiXl (i = 1, ... , п),
Это будет достигнуто, если мы так подберем у?*, что уравнения
dxi dtpi / \ /. 1 ч
— + — = mi(Xi + 4>i) (г = 1, ... , га)
будут следовать из дифференциальных уравнений для Х{. Исключая
dx'
при помощи этих уравнений ——, мы получим искомые соотношения:
dt
п ^
Fi + X + F^ = тт (*' = !,•••, «-)•
j=i 1
Разлагая Fi и щ в ряды, мы приведем эти уравнения к виду (г = 1, ... , га):
Формальное рассмотрение динамических систем
81
Рассмотрим первое уравнение, написанное для любого г. Оно, очевидно, представляет собою уравнение в частных производных относительно ip 12. Коэффициент Ci члена
CiXl± ... х1™ (/1 + ... + ln = 2)
в tpi2 может быть, очевидно, определен через подобный же коэффициент di в Fi2 посредством уравнения
di + Ц1Ш1 + ... + (/* — l)nii + ... + 1птп]с{ = 0.
Но стоящее в скобках выражение не равно нулю вследствие предположения относительно чисел га^, так что из этих формул можно определить С{. Следовательно, существует единственная система однородных квадратичных полиномов удовлетворяющих для каждого г первому из написанных выше уравнений.
Совершенно так же вторые уравнения определяют ipi3 единственным образом, так как уравнения, служащие для определения коэффициентов в (piz, будут того же общего типа, что и для фы, с той только разницей, что в этом случае /1 + ... + 1п = 3 и т. д.
Следовательно, оставляя в стороне вопрос о сходимости рядов, появлявшихся в этом рассуждении, мы приходим к следующему заключению.
Посредством формального преобразования
п п
Xi = fi{% 1? • • • 5 %п) = ^ ^ ^ijZj + ^ ^ hjk^jZk + • • • (i = 1, ... , н),
j—1 j,k=1
где определитель \Uj\ / 0; дифференциальные уравнения (1); имеющие
в начале координат точку равновесия общего типа, могут быть приведены к нормальному виду
^ = m,iZi (г = 1, ... ,п) (9)
таким образом, что каждой паре сопряженных комплексных корней гщ и nij будут соответствовать сопряженные переменные z% и zj.
Так как только что написанные нормальные уравнения интегрируемы и имеют общее решение
Zi = Ciemit (г = 1, ... ,п),
то нижеследующее положение также оказывается справедливым.
82
Глава 3
Соответственное формальное решение уравнений (1) может быть написано в виде
где fi суть те самые степенные ряды, которые участвуют в преобразовании уравнений (1) к нормальному виду.
§ 5. Проблема обобщенного равновесия. Нетрудно распространить вышеприведенный метод на проблему обобщенного равновесия, в которой мы исходим из уравнений вида (3). В этом случае уравнения вариации образуют систему, состоящую из п обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
коэффициенты которых dXi/dxj|ж=о суть аналитические периодические функции t с периодом т. Пусть ... , уп^ (k = 1, ... , п) представляют собою для каждого к решения этой системы, причем все эти п решений линейно независимы. Тогда общее решение будет линейной комбинацией этих частных решений. При замене t на t + т уравнения вариации не изменяют. Отсюда следует, что
где ciu — постоянные коэффициенты. Если мы теперь определим опять mi, ... , гап, как корни характеристического уравнения таблицы \\dj\l то мы можем, рассуждая совершенно так же, как выше, выбрать другую систему п линейно независимых решений таких, что предыдущие соотношения примут для них нормальную форму:
