Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
где А, В, С — некоторые положительные константы.
Благодаря тому, что в этих неравенствах з — произвольное целое положительное число, можно придать им еще более простой вид. Ограничим \t — to\ еще строже, чем в формуле (2), а именно: пусть он будет порядка не более (5/3) +1 относительно обратного расстояния 1/uo. Тогда слагаемые вышеприведенной суммы будут, очевидно, порядка s/3 относительно самого расстояния щ. Следовательно, если мы отбросим в формальных рядах решения все члены степени выше s/З,то порядок ошибки будет выше s/З. Но s/З произвольно, откуда мы выводим следующее заключение:
Если формальные ряды решения проблемы обобщенного равновесия устойчивого типа для уравнений Пфаффа оборвать на членах произвольного порядка s относительно начальных значений pj, ... , q^ произвольных постоянных(п), то полученные таким образом 2га тригонометрических сумм(12) будут иметь коэффициенты не выше чем первого порядка относительно и0 и будут выражать координаты х±, ... , Х2Ш с
114
Глава ^
ошибкой порядка не выше и^+1 в течение промежутка времени порядка
пространстве ... , х^т пРи t = t$.
Написанные в явном виде эти тригонометрические суммы для ? х2т имеют вид вещественных выражений:
причем «1, ... , %т — целые числа, a Ai,Bi — полиномы относительно р\, ... , g^, все члены которых имеют степень не ниже d и не выше s.
§ 3. Неустойчивость пфаффовых систем. В случае, если некоторые из множителей вещественны, рассуждения в корне меняются. Если мы предположим, что имеются положительные и отрицательные множители ±Ai, ... , ±А*, то будет существовать вещественное ^-мерное аналитическое многообразие кривых движения, приближающихся к кривой периодического движения. Точки на этих кривых, близкие к периодическому движению, оставляют окрестность такового в сравнительно короткий промежуток времени. Точнее говоря, расстояние будет превосходить
где щ обозначает начальное расстояние от периодического движения при t = to, а А есть положительная константа, меньшая, чем наименьший положительный множитель. Подобно этому, при уменьшении t расстояние по может увеличиваться таким же образом вдоль второго вещественного аналитического многообразия кривых.
Это положение, очевидно, совершенно не похоже на то, которое имелось в устойчивом случае, и может быть с полным основанием названо неустойчивым.
Мы не будем останавливаться на выводе результатов этого рода1, первый из которых был получен Пуанкаре.
§ 4. Полная устойчивость. Из сказанного в § 2 видно, что пфаффовы и гамильтоновы системы обладают в известном смысле полной формальной или тригонометрической устойчивостью в случае,
не ниже l/u8^1. Здесь щ выражает расстояние до начала координат в
з
где
т
1 Некоторые из основных положений, касающихся этого случая, см. Picard, «Traite d’Analyse», т. 3, гл. 1.
Устойчивость периодических движений
115
если Ai, ... , Am, 27Г\/—1 /т суть чисто мнимые количества, не связанные никаким линейным соотношением с целыми коэффициентами.
Мы перейдем теперь к определению этого понятия «полной устойчивости».
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений четного порядка 2га
^ = Xi(xi, , х2т, t) (г = 1, ... ,2т), (5)
имеющую в начале координат точку обобщенного равновесия, и положим, что при t = to точка х$ находится на расстоянии е от начала координат. Пусть Т будет какой-нибудь фиксированный промежуток времени, / — любое целое положительное число и Ps(xi, ... , Ж2Ш, t) — произвольный полином относительно а?1, ... , Х2m с коэффициентами — аналитическими и периодическими (периода т) функциями от ?,не имеющий членов степени ниже s. Если всегда возможно с ошибкой, численно меньшей, чем
Mef+S+1,
апроксимировать Р8 для \t — to\ ^ Т тригонометрической суммой порядка N:
N
5^(Aj cosIjt + Bj sinIjt) (\li — lj\ > I > 0), j=o
где M, TV, l зависят только от f и Ps и где l0 = 0, то мы будем говорить, что уравнения (5) «вполне устойчивы».
В качестве весьма простого примера рассмотрим систему двух уравнений:
^1-кх, ^ - -кх 1
dt -кх2’ dt - кхъ
общее решение которой будет:
х\ = A cos kt + В sin kt, х2 = —A sin kt + В cos kt,
так что координаты a?i, ж2 представляются тригонометрическими суммами первого порядка. Любой полином Ps степени s\ ^ s также может быть точно представлен суммой, порядок N которой не превосходит 2Sl+1. Следовательно, приведенный пример удовлетворяет определению «полной устойчивости».
116
Глава 4
Результаты, полученные в § 2У показывают7 что в случае гамильтоновых или пфаффовых уравнений из определенной ранее обыкновенной устойчивости системы всегда следует полная устойчивость.
Это непосредственно следует из того, что разности — lj, входящие в тригонометрические суммы §2, приближенно выражаются через некоторое ограниченное число линейных комбинаций с целыми коэффициентами т + 1 количеств Ai/\/^T, , Am/\/—1, 27г/т, и ни одна
из этих комбинаций не обращается в нуль.
В случае полной устойчивости решения нормализированных уравнений вариации (глава III, § 5) будут пределами тригонометрических сумм указанного типа и, следовательно, будут сами тригонометрическими на основании леммы о тригонометрических суммах, приведенной ниже (в § 5 и 6 этой главы). Следовательно, множители будут чисто мнимыми количествами.
