Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы можем показать теперь, что определенное таким образом изменяется непрерывно вместе с $ и ip. В самом деле, если $ и ip изменяются, то новые двойные точки не могут появиться внутри дуги PoPi, потому что геодезическая дуга не может касаться себя самой. Если положительная двойная точка появляется в Pi, то, очевидно, $i
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
189
увеличивается как раз на 27т, как и должно быть по нашему определению. При появлении отрицательной двойной точки $1 подобным же образом уменьшается на 2тг. Таким образом, наше соглашение приводит к непрерывной функции во всех случаях.
Но очевидно также, что если геодезическую дугу Р$Р\, лежащую в окрестности кривой g, непрерывно деформировать в этой окрестности, не сохраняя ее геодезического характера, но оставляя точки Р0 и Р\ неподвижными и допуская только простое внутреннее касание, то положительные и отрицательные двойные точки будут появляться одновременно парами, так что индекс кривой не изменится. Таким образом, если мы дугу Р$Р\ преобразуем в спиралеобразную кривую, исключив все отрицательные двойные точки, то индекс, очевидно, будет равен числу оборотов этой спирали вдоль g. В этом случае увеличение $, т. е. — $, будет измеряться согласно нашему условию длиной дуги вдоль кривой gi}7). Если, однако, нами исключены все положительные двойные точки, то наше соглашение даст для разности $1 — $ выражение 2жг (г ^ 0) плюс угловое значение кратчайшей положительной дуги P0Pi, и, следовательно, эта разность — $ превосходит длину дуги P0Pi на 2тг(18).
Отсюда выводим, что, согласно нашему условию, разность — $ измеряется для ip = 0 фактическим приращением $ вдоль g, а для ip = тг эта разность измеряется алгебраическим приращением (фактически убыванием) $ вдоль дуги, увеличенным на 27т, так как дуга PoPi должна браться в положительном направлении.
Но при переходе от точки Р к ее второй сопряженной точке Р", при ip = 0, $ увеличивается на некоторую величину а, причем
2ктт ^ а < 2(к + 1)7Г,
где число к ^ 1 не зависит от положения точки Р; действительно, однооднозначное прямое преобразование точек кривой g, переводящее любую точку Р в ее вторую сопряженную, определяет коэффициент вращения1, лежащий между 2ктт и 2(к + 1)тт причем к ^ 1, благодаря упомянутому уже свойству сопряженных точек на геодезической линии минимаксного типа. Отсюда мы получаем неравенство
2кж ^ х(0? $) — $ < 2(к + 1)7г-
Подобным же образом, рассматривая случай ip=7г, убедимся, что $* — 2тт уменьшается на аналогичную величину, так что имеем:
—2ктт < х(тг, Ф) — $ ^ —2(к — 1)7г.
1 Определение коэффициентов вращения Пуанкаре и краткое рассмотрение их свойств см. в моей статье «Surface Transfor mat ions and Their Dynamical Applications», Acta Mathematica, vol. 43, 1922, § 45.
190 Глава 6
Отсюда следует, что преобразование Т (или Т*) передвигает в противоположных направлениях точки обеих границ кольца R, во всяком случае, если мы исключим тот особый случай, когда вторая сопряженная точка совпадает с первоначальной после одного цикла кривой g(19).
§ 11. Применение теоремы Пуанкаре к проблеме геодезических линий. Проблема геодезических линий является, разумеется, гамильтоновой, причем главную функцию Н представляет квадрат скорости. В четырехмерном многообразии состояний движения четырехкратный интеграл
////
dpi dqi dp2 dq2
есть инвариантный интеграл. В инвариантном подмногообразии Н = const должен поэтому существовать инвариантный объемный интеграл, а именно:
/// dqi dp2 dq2,
при условии, что Н = /г, gi, р2, q2 приняты за координаты (см. §3). Ограничение Н = const фиксирует постоянную скорость. Рассмотренное выше кольцо состояний движения, пересекающих g в положительном направлении, очевидно, представлено в нашем трехмерном многообразии тоже кольцом R, ограниченным двумя замкнутыми кривыми, изображающими линию g, проходимую в обоих возможных направлениях. Образ ТТ*(Р) какой-нибудь точки Р, очевидно, получается, если мы будем следовать за линией потока, проходящей через ТТ*, пока она не пересечет опять колцо R. Дальнейшее рассмотрение показывает, что полученное таким образом кольцо R представляет собой аналитическую поверхность.
Если мы теперь рассмотрим трубку, состоящую из линий потока и имеющую оба свои основания с площадями Acri, Аа2, на R, причем qi есть независимая переменная, a ai, а2 суть углы, образуемые линиями потока с обоими основаниями, то потеря «объема» в промежуток времени Agi будет на одном конце приближенно равна
(sinaiAcr1)Ag1,
в то время как приращение объема на другом конце будет приближенно
(sina2A(72)Agi.
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
191
Таким образом, J sin a da является положительным инвариантным плоскостным интегралом, необходимым для применения геометрической теоремы Пуанкаре. Следовательно, существуют две точки кольца Я, инвариантные относительно преобразования ТТ*, откуда мы можем немедленно сделать следующий вывод.
Пусть мы имеем выпуклую аналитическую поверхность, на которой какая-нибудь замкнутая геодезическая линия минимаксного типа (существование таких линий нами было доказано ранее) не имеет двойных точек; предположим еще, что ни для одной из точек этой геодезической линии ее вторая сопряженная точка не совпадает с ней после одного полного оборота. Тогда будет существовать вторая замкнутая геодезическая линия, пересекающая первую ровно два раза.
