Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Тот же процесс может быть теперь повторен с совокупностью М2, взятой в качестве основной, и таким образом мы определим Мз и И^. Идя далее таким же образом, мы получим последовательность замкнутых, непустых совокупностей М, Mi, М2, ... Мы будем говорить, что процесс обрывается на какой-нибудь совокупности М*, если совокупность Мг+1 совпадает с Мг*, в этом случае Wi будет, разумеется, пустой совокупностью. В случае, если процесс не обрывается таким способом, мы будем иметь последовательность различных замкнутых, непустых совокупностей М, Mi, М2, ..., каждая из которых содержится в предыдущих совокупностях и содержит последующие. Эта последовательность определяет предельную совокупность М (общую часть всех совокупностей М*), которая, очевидно, замкнута, непуста и состоит из кривых движения. Применяя к ней тот же процесс, мы получим совокупности M^+i, Мад+2. Таким образом последовательно определяются
м, Ml, м2,
Mw, ^w+1?
М2и, ^2w+l? ^2w+2?
^и;2 + 1 ? М*;2+2 5
Общая теория динамических систем
199
согласно известной теории трансфинитных порядковых чисел, разработанной Кантором.
Но мы получили, таким образом, вполне упорядоченное множество замкнутых совокупностей, из которых каждая содержится в предыдущих и содержит последующие. Как известно, такая совокупность должна быть конечна или исчислима. Следовательно, процесс непременно оборвется на каком-нибудь Мг (г — конечное или трансфинитное число).
Таким образом, существует обрывающаяся трансфинитная последовательность различных замкнутых совокупностей
Af, Ми Af2, ... , АГад, ... , Afr,
где элемент Мр+непосредственно следующий за Мр, состоит из точек, не блуждающих относительно Мр, тогда как элемент Мр, не иже-ющий непосредственно предшествующего ему, есть общая часть предшествующих. Блуждающие точки совокупности Мр стремятся асимптотически к Мр+1 и притом таким образом, что полное время, в течение которого какая-нибудь такая точка находится вне данной окрестности Mp+i, так же как и число раз, когда эта точка покидает эту окрестность, равномерно ограничены^4).
Последняя совокупность Мг, на которой обрывается процесс, есть совокупность «центральных движений». Она, очевидно, обладает свойством региональной рекуррентности, так как совокупность Wr блуждающих точек совокупности Мг пуста. Из этого свойства методом Пуанкаре (см. книгу, цитированную выше) можно вывести, что в любой окрестности какой-нибудь точки, принадлежащей Мг, имеется движение, которое возвращается в эту окрестность бесконечно много раз в будущем и в прошедшем(15).
В самом деле, если в этой окрестности проходит изолированная кривая движения, принадлежащая Мг, то эта кривая должна быть замкнута и соответствующее движение должно быть периодическим, так как движение неблуждающее. В этом случае само периодическое движение обладает требуемым свойством. Если изолированного движения не имеется, то сколь малой мы ни выбрали бы окрестность данной точки, она при своем движении будет в некоторый момент налегать на свое первоначальное положение. Таким образом, мы получим две точки Р, Q на одной и той же кривой движения, принадлежащей Мг, лежащие обе в маленькой частице, содержащей данную точку, но отстоящие далеко друг от друга по времени. Возьмем теперь еще меньшую частицу около Р, такую маленькую, чтобы всякая точка Р' этой частицы пришла в точку Q', лежащую в первоначальной частице и вблизи от Q, когда Р придет в Q. Выбирая Р' подходящим образом, мы мо-
200
Глава 7
жем сделать так, чтобы на кривой движения, проходящей через Р', этой точке предшествовала точка R!, лежащая все в той же частице, что и P',(J'. Таким образом, мы получаем дугу R'P'Q' кривой движения, принадлежащей Мг, такую, что три точки i?', Р', Q', отстоящие далеко друг от друга по времени, лежат в одной и той же, данной в начале частице. Далее, выбирая еще меньшую частицу около Р', мы приходим к дуге R"P"Q"S", а затем к ТшRmPmQmSm и т. д. Пределом точек Р, Р', Р", ... будет точка Р*, принадлежащая Мг и лежащая в данной частице. Проходящая через нее кривая движения пересекает эту частицу бесконечно много раз в прошедшем и в будущем.
Очевидно, что периодические движения в динамической проблеме должны принадлежать к совокупности центральных движений. Движения, которые мы определим ниже как «рекуррентные» (§7), тоже принадлежат к числу центральных.
§ 4. Некоторые свойства центральных движений. Легко видеть, что каждая точка многообразия М попадает в любую данную окрестность совокупности центральных движений по крайней мере однажды в течение любого промежутка времени постоянной, достаточно большой длины. В самом деле, любая точка попадает в окрестность М2 равномерно часто, потому что всякое движение, принадлежащее Mi, приближается к М2 равномерно часто, и, следовательно, то же справедливо относительно движений, близких к Mi. Продолжая таким же образом дальше, мы видим, что свойство равномерного приближения имеет место для совокупностей Mi, М2, ... Если эта последовательность продолжается до Мш, то то же справедливо и для Мш. В самом деле, так как Мш есть предел последовательности убывающих замкнутых совокупностей, то в любой окрестности лежит какой-нибудь Мп, и, следовательно, любая окрестность будет в то же время окрестностью Мп. Но так как произвольная точка попадает в любую данную окрестность Мп равномерно часто, то же самое будет справедливо и для Мш. Продолжая то же рассуждение для Mw+i, ... , 2, ... , Мг,
