Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
¦^м. мою статью «The Restricted Problem of Three Bodies», Rendiconti di Palermo, vol. 39, 1915, особенно § 14.
184
Глава 6
Таким образом, мы получаем для любого п > 2 и любого числа к ^ п/2, взаимно простого с п, два геометрически различных гармонических n-угольника, обходящих к раз кривую С. Этим двум многоугольникам будут соответствовать, разумеется, четыре периодических движения. Мы не станем входить здесь в рассмотрение устойчивости или неустойчивости движения в зависимости от знака индекса.
Заслуживает внимания то обстоятельство, что здесь, очевидно, может быть применен метод, изложенный в § 2 и 3 этой главы, который покажет нам, что существует бесконечное множество периодических движений, лежащих в окрестности любого устойчивого периодического движения общего типа, если постоянная I не равна нулю.
Мы покажем, в частности, как этот метод можно применить к предельному типу периодического движения, когда бильярдный шар движется вдоль границы бильярдного стола по кривой С.
Для этой цели необходимо рассмотреть явные выражения для Т для того случая, когда $ мало. Прямое вычисление дает:
0! - 0= +W3 + ... ,
J к2
где функция к((р) обозначает кривизну кривой С в точке, имеющей данное (р, а функции /, га, ... зависят только от (р. Рассуждая совершенно формальным образом и заменяя — $ и ipi — ip на Д$ и Aip соответственно, мы получим приближенное дифференциальное уравнение
<М _ 1к*_л dip 3 к ’
дающее после интегрирования
$ = $о к^3((р).
Здесь обозначает значение $ в точке, имеющей кривизну, равную единице. Этот результат показывает, что в первом приближении кривая д = $ок^((р) вблизи внутренней границы д = 0 кольца почти инвариантна при преобразовании Т и, вероятно, может быть сделана с еще большим приближением инвариантной присоединением членов высших степеней. Очевидно, предельные периодические движения, образуемые кривой (7, нужно на этом основании рассматривать как устойчивые движения.
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
185
Также, если переменная п обозначает число итераций, то мы имеем приближенное дифференциальное уравнение:
откуда, интегрируя, получаем:
dip
Отсюда следует, что ip возрастает более чем на 27т, вдоль приближенной инвариантной кривой, если ш?о превосходит кК2/3, где К есть максимальная кривизна кривой С.
Таким образом, представляется весьма вероятным, что лемма § 2 применима и здесь, и что существует бесконечное множество периодических движений, равномерно близких к кривой С.
§ 10. Геодезическая проблема. Построение преобразования ТТ*. Мы переходим теперь к рассмотрению задач, связанных с геодезическими линиями на аналитической поверхности. Для того, чтобы получить насколько возможно более конкретные результаты, мы ограничимся случаем замкнутой выпуклой поверхности S, хотя окажется, что эти ограничения не являются необходимыми для приводимого ниже рассуждения.
Мы уже установили существование по крайней мере одной замкнутой геодезической линии g типа минимакса (глава V, § 7), которую мы будем считать не имеющей двойных точек. Наше первое утверждение заключается в том, что существует настолько большое положительное число L, что любая геодезическая дуга длины, большей L, пересекает g по крайней мере дважды (или идет вдоль g). В самом деле, в противном случае существовала бы последовательность геодезических дуг gn длиной Ln, из которых ни одна не пересекает g, причем limLn = +ос. Но для этого необходимо, чтобы при достаточно большом Ln никакая часть gn не лежала бы слишком близко от g, потому что замкнутые геодезические линии типа минимакса обладают тем свойством, что лежащие в окрестности их геодезические дуги пересекают их в точках, отделенных каждая от своей предыдущей дугами ограниченной длины; точнее, можно показать, что если Р есть точка, лежащая на g, и Рп — ее вторая сопряженная точка в смысле вариационного исчисления, то дуга РР" делает по крайней мере один полный оборот на g.1
1 Доказательство этого утверждения см. в моей статье «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18, 1917, особенно §19.
186
Глава 6
Следовательно, если Рп будет середина gn7 то последовательность точек Рп будет иметь предельную точку Р, не лежащую на g7 и геодезические линии gn будут иметь по крайней мере одно такое предельное направление в Р, что полная геодезическая линия ft, проходящая через Р по этому направлению, не пересекается с g и даже нигде не приближается к g.
Рассмотрим теперь ту часть поверхности 5, разделенной линией g на две части, в которой лежит /г, и в частности часть 5, лежащую между g и h. Одной из границ этой области s будет линия g, имеющая всюду геодезическую кривизну, равную нулю, а другая граница 7 состоит из части или всего h и его предельных точек.
Пусть TVi и N2 будут две близкие достижимые точки полученной таким образом границы 7, так что в области s существует короткая криволинейная дуга NiAN2, все внутренние точки которой лежат не на границе s. Рассмотрим также короткую геодезическую дугу NiGN2. Тогда кривая NiAN2GNi ограничивает некоторую область (т.
