Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
$ = а — т, di — т\ — а.
Рис. 3
Заменяя в этих формулах т и ti, их выражениями через ip, а также заменяя а выражением
1 / arctg
СЫ-ЭД
F{<pi) -F(vp)’
очевидно, равным а, мы получим формулы, выражающие $ и $i, через ip, (pi в явном виде:
Т:
¦в = 1/ arctg (^Pl\—- V arctg = У’1)’
= 1/ arctg
F(<pi) - F{ip) G'{<p i)
’ F'(>p)
F'(<fi i)
Эти два уравнения определяют преобразование Т точки ($, (р) в точку (#i, (pi). Взяв дифференциалы обеих частей, находим:
d$ = by dip + L(pi dipi, ddi = My dip + MVl dipi,
(17)
(18)
откуда непосредственно получаем:
dt? + М
My,1L(p
=
d/d
что дает
J = -
= [F(yi) - F(y)]G'(y>) - [g(yi) - ЗД]Г(У>) LVl [F(^) - F^G'^i) - [G(v?i) - '
182
Глава 6
Но F(ipi) — F(ip) и G(ipi) — G(ip) пропорциональны соответственно cos a, sin a, а с другой стороны,
F'(ip) = cos r,Gf(ip) = sin r, Ff((pi) = cosri, Gf(ipi) = sinri, так что мы имеем окончательно:
j = sin(a - т) = sin $ sin (n — a) sin ’
что и требовалось доказать.
§ 9. Приложения теоремы Пуанкаре к проблеме бильярдного шара. Как было уже указано, нет точки кольца, не лежащей на его границе, которая была бы инвариантна относительно преобразования Т. С другой стороны, рассмотрим преобразование Т2 и присоединим к нему вращение плоскости $, ср около начала, координат на угол —27Г, которое мы обозначим через R-1. Преобразование T2R-± оставляет инвариантным интеграл ff sin $ (I'd d(p и передвигает точки внешней окружности на угол 27т, а точки внутренней окружности на угол —27г, следовательно, в противоположном направлении. Таким образом, преобразование T2R-i, удовлетворяет всем условиям, необходимым для применения геометрической теоремы Пуанкаре. Следовательно, сложное преобразование T2R-1 имеет по крайней мере две инвариантные точки. Но это значит, что Т2 имеет две геометрически различные инвариантные точки с индексами разных знаков1, хотя для обеих этих точек ip увеличивается на величину 27г.
Если Р есть такая инвариантная точка, то Т(Р), разумеется, тоже будет таковой, но с тем же индексом. Таким образом, мы получаем две пары точек, скажем,
Р, Т(Р); Q, T(Q),
причем все четыре точки различные. Они, очевидно, соответствуют двум основным периодическим движениям.
Переходя к применению теоремы Пуанкаре к периодическим движениям более сложного типа, мы должны принять по внимание тот факт, что каждому такому движению соответствует другое, отличное от него периодическое движение, получающееся изменением порядка обхода многоугольника на обратный, причем эти движения имеют одинаковый индекс. Однако одно из этих движений увеличивает ip на величину 2&7Г, а другое — на величину 2(п—к)тг. Рассматривая только те инвариантные точки Тта, для которых ip увеличивается на 2ктт (к ^ п/2),
^-См. мою статью «Ап Extension of Poincare’s Last Geometric Theorem», Acta Mathematica, vol. 47, 1926 (1). Под индексом инвариантной точки мы подразумеваем число полных оборотов вектора, соединяющего точку Р с ее образом, когда Р описывает малую окружность около инвариантной точки.
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
183
мы, очевидно, получим каждый гармонический n-угольник только однажды. Можно заметить кстати, что эта возможность сгруппировать подобным образом движения в проблеме бильярдного шара по два находит полное отражение в том, что Т есть композиция двух инволю-торных преобразований^4); именно это самое свойство преобразований кольца в ограниченной задаче трех тел дало мне возможность доказать существование бесконечного множества симметричных периодических орбит1.
Перейдем теперь к рассмотрению инвариантных точек преобразования TnR-k, где R-k обозначает fc-кратное вращение на угол — 2тт. Вращения внешней и внутренней окружностей будут, очевидно, соответственно,
2(п — к)п и — 2&7Г,
т. е. будут противоположных знаков. Отсюда мы можем заключить о существовании по крайней мере двух рядов геометрически различных точек
Р, Т(Р), ... , Тп~1(Р), Q, T(Q), ... , Tn~1(Q),
таких, что Тп(Р) = Р, Tn(Q) = Q, причем ip увеличивается на 2&7г; при этом мы предполагаем, что пик — взаимно простые числа.
Чтобы доказать подробнее это утверждение, предположим, что Р — одна из таких инвариантных относительно Тп точек, для которых Тп увеличивает ip на 2кп. Если п точек
Р, Т(Р), ... , Тп-х(Р)
не все различны, то пусть Tm(P) = Р (т SC п — 1), и положим, что ip увеличивается при преобразовании Тт на 2j7r. Комбинируя два символических уравнения, Тт(Р) = Р и Тп(Р) = Р, мы получим Td(P) = Р, где d (не равное единице, разумеется) есть общий наибольший делитель тип Таким образом, Р инвариантно относительно Td. Предположим, что Td увеличивает (р на 2/7Г. Из уравнения Тп = Tqd мы видим, что Тп будет тогда увеличивать (р на 2(//7г, так что к = qf. Таким образом, кип будут иметь общего делителя д, не равного единице, что противоречит тому, что они взаимно просты.
Все п инвариантных точек Т*(Р) не только различны, но имеют одинаковый индекс. Следовательно, будет существовать точка Q инвариантная по отношению к Тп, но с индексом, имеющим обратный знак. Эта точка, а также ее образы при последовательных степенях преобразования Т будут обязательно все отличны от точки Р и ее образов и дадут нам, таким образом, второй, отличный от первого ряд из п точек.
