Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, блуждающая точка Pq характеризуется тем, что соответственная частица а описывает n-мерную трубку, нигде не пересекающую самое себя, когда t изменяется от — ос до +ос(5). По этой причине название «блуждающая» представляется законным, так как точка никогда не возвращается в бесконечно малую окрестность какой-нибудь раз пройденной точки(6).
Совокупность W всех блуждающих точек многообразия представляет собой открытую совокупность, состоящую из кривых движения. Совокупность Mi неблуждающих точек М состоит из дополнительной замкнутой совокупности кривых движения(7).
Из того, что было сказано выше, сразу следуют все части этого утверждения, кроме разве того, что W открыто и, следовательно, Mi замкнуто. Но если Pq есть блуждающая точка, то таковыми, очевидно, будут все точки частицы <т, содержащей Ро(8). Отсюда тотчас же следует, что W — открытая совокупность и, значит, Mi — замкнутая совокупность.
Если совокупность М содержит точки, не являющиеся предельными точками совокупности W. то эти точки образуют подмножество М[ множества Mi, состоящее из кривых движения и обладающее свойством региональной рекуррентности.
Очевидно, что М[ состоит из кривых движения, потому что если какая-нибудь точка Q совокупности Mi не находится в непосредствен-
Общая теория динамических систем
197
ном соседстве ни с какой кривой движения, принадлежащей W, то то же самое будет справедливо относительно любой точки кривой движения, проходящей через Q(9). Мы видим также, что достаточно малая частица, содержащая Q, будет вся содержаться в М{, так что М[ является открытой совокупностью неблуждающих точек. Отсюда следует свойство региональной рекуррентности.
Очевидно, что совокупность М[' = Mi — М[ представляет собою просто границу открытых n-мерных совокупностей W, М[(10). Она является состоящим из кривых движения замкнутым множеством размерности, меньшей п.
С возрастанием или убыванием времени любая блуждающая точка приближается асимптотически к совокупности М\.
Это основное свойство блуждающих движений доказывается очень просто. Рассмотрим любую открытую окрестность множества Mi и дополнительную замкнутую совокупность С, состоящую исключительно из блуждающих точек. Около каждой точки, принадлежащей С, может быть построена маленькая частица сг, которая при своем движении никогда не будет налегать на свое первоначальное положение. Следовательно, можно найти конечное число таких частиц, покрывающих полностью С. Движущаяся точка может войти в одну из таких частиц, которые мы считаем неподвижными, только однажды и оставаться там короткий промежуток времени. Отсюда очевидно, что она по истечении некоторого конечного промежутка времени будет оставаться в данной окрестности совокупности Mi. Следовательно, всякая движущаяся точка будет приближаться асимптотически к Mi, что и требовалось доказать.
Более внимательное изучение обнаруживает некоторые дальнейшие особенности способа приближения блуждающих движений к неблуждающим движениям. Так как в предыдущем рассуждении движущаяся точка входила в какую-нибудь из неподвижных частиц, покрывающих С, только однажды и оставалась там в течение короткого промежутка времени, то мы сможем высказать следующее положение.
Всякое блуждающее движение остается вне какой-нибудь выбранной окрестности совокупности Mi в течение конечного времени Т и покидает эту окрестность конечное число N раз7 где N и Т равномерно ограничены7 коль скоро окрестность множества М\ выбрана1 (п).
§ 3. Последовательность М, Mi, М2,________Придя к замкнутой со-
вокупности Mi(12), между точками которой расстояние может быть
хДля того, чтобы сделать счет выводов точным, мы должны были бы выбрать покрывающие частицы таким образом, чтобы каждая из них отсекала самое большее один отрезок от каждой кривой движения, и затем рассматривать, гак окрестность совокупности Mi, дополнение к сумме этих частиц.
198
Глава 1
определено так же, как и между точками М, мы можем теперь определить блуждающие и неблуждающие точки относительно Mi следующим образом. Выберем произвольную точку Р0, принадлежащую Mi, и открытое множество а малого диаметра, содержащее точку Р0. Оставляя в стороне случай, когда Р0 есть точка равновесия, и выбирая диаметр а достаточно малым, мы видим, что содержащаяся в а часть Mi перестанет в некоторый момент налегать на свое первоначальное положение. Если мы можем выбрать диаметр а настолько малым, чтобы та часть Mi, которая содержится в сг, никогда уже более при дальнейшем движении не налегала на свое первоначальное положение, то мы будем говорить, что Р0 есть блуждающая точка совокупности Mi (хотя она по определению Mi будет неблуждающей относительно М.) Все остальные точки, в том числе точки равновесия, принадлежащие Mi, будут называться неблуждающими точками множества Mi(13).
Очевидно, что аналогия с М полная. Неблуждающие точки относительно Mi образуют замкнутую совокупность М2, состоящую из кривых движения. К этой совокупности стремится асимптотически любая точка Р, принадлежащая совокупности Wi блуждающих относительно Mi точек, при возрастании или убывании времени t\ мы можем так же сформулировать утверждение, аналогичное приведенному в конце предыдущего параграфа.
