Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
мы придем к доказываемому утверждению.
Но мы видели, что движения, принадлежащие М, приближаются к движениям, лежащим в Mi, определенным образом и что, с другой стороны, движения, принадлежащие Mi, приближаются подобным же образом к движениям, принадлежащим М2. Соединяя вместе эти результаты, мы могли бы сделать некоторые выводы относительно характера приближения какой-нибудь точки многообразия М к М2. Эти выводы могли бы быть затем перенесены на М3, ... , Mw. Но вместо, этого мы установим более простой результат, справедливый для всех совокупностей Мр.
Определим «вероятность» того, что дуга PQ кривой движения ле-
Общая теория динамических систем
201
жит в данной области Е, как отношение интервала времени, когда она лежит в Е, к общему времени между Р и Q(16).
Вероятность того, что какая-нибудь дуга кривой движения лежит в произвольной окрестности совокупности Мр и в частности в окрестности совокупности центральных движении МГ7 стремится к единице, когда промежуток времени, соответствующий дуге? безгранично возрастает(17).
Из того, что было доказано в начале относительно Mi, следует, что вероятность того, что какая-нибудь дуга кривой движения лежит в данной окрестности Mi, стремится равномерно к единице с безграничным возрастанием промежутка времени, соответствующего дуге(18).
Для того, чтобы доказать подобное же свойство для М2, мы напомним прежде всего, что любое произвольное движение, принадлежащее Mi, изображается кривой, которая целиком лежит в данной окрестности совокупности М2, за исключением ограниченного числа дуг, соответствующих все вместе ограниченному промежутку времени. Но всякая данная дуга, достаточно близкая к Mi, будет разделять с движениями Mi свойство находиться в данной окрестности М2, за исключением ограниченного числа дуг с ограниченной общей длиной, при условии, что мы сначала выберем длину дуги, а затем выберем соответственным образом окрестность совокупности Mi, в которой эта дуга должна лежать. Кроме того, если какая-нибудь точка дуги кривой движения данной длины лежит достаточно близко к Mi, то дуга данной длины должна будет лежать в выбранной окрестности Mi.
Следовательно, так как вероятность того, что дуга кривой движения многообразия М лежит в заданной окрестности Mi, стремится к единице, если мы будем безгранично увеличивать промежуток времени, и так как всякая точка, лежащая в такой окрестности, принадлежит длинной дуге кривой движения, лежащей в окрестности М2, за исключением конечного числа отрезков с ограниченной общей длиной, то очевидно, что вероятность того, что дуга кривой движения в М лежит в данной окрестности М2, стремится к единице равномерно с безграничным возрастанием промежутка времени.
То же рассуждение приложимо и к совокупностям М3, М4, ... Относительно Мш мы должны заметить только, что так как Мы есть предел убывающей последовательности замкнутых совокупностей Mi, М2, ..., то для достаточно большого п каждая точка Мп будет находиться на расстоянии, меньшем е от какой-нибудь точки Мш. Так как вероятность того, что произвольная дуга кривой движения, отвечающая достаточно большому промежутку времени, будет на расстоянии меньшем е от Мп не меньше 1 — где S сколь угодно малое число, то вероятность того, что она лежит на расстоянии, меньшем 2е от Ми то-
202
Глава 1
же не меньше 1 — S. Очевидно, это рассуждение можно продолжить на дальнейшие Мр? и, таким образом, теорема доказана(19).
§5.0 роли центральных движений. Очевидно теперь, что первой задачей, относящейся к свойствам динамических систем, является отыскание центральных движений. Для уравнений классической динамики центральными движениями, очевидно, будут все движения системы по крайней мере для случая несингулярных систем, который нас единственно интересует в данный момент. В самом деле, из свойства устойчивости в смысле Пуассона следует свойство региональной рекуррентности, характерное для центральных движений.
§ 6. Группы движений. Рассмотрим теперь любую кривую движения, лежащую в М, и точку Pt движущуюся по ней. Точки Pt образуют «точечную группу» данного движения. Всякая предельная точка совокупности Р*, соответствующая lim t = +оо, будет называться ^-предельной точкой, а всякая предельная точка совокупности Pt при limf = —оо будет называться a-предельной точкой.
Во всех случаях предельные точки каждого из двух классов образуют замкнутую совокупность.
Все и- (или а-) предельные точки любого движения Pt образуют замкнутую связную совокупность, состоящую из кривых движения. Расстояние точки Pt от этой предельной совокупности стремится к нулю при limt = +оо (соответственно —оо).
Действительно, пусть Р* будет ^-предельная точка, к которой Pt приближается при limt = +оо и пусть Р** будет точка, в которую Р* придет через промежуток времени с. Очевидно, что Pt+C будет стремиться к Р**, если Pt стремится к Р*. Иначе говоря, Р** есть ^-предельная точка, если Р* есть таковая. Отсюда следует, что все точки точечной группы, содержащей Р*, суть ^-предельные точки.
Для того, чтобы доказать, что расстояние Pt от ^-предельной совокупности стремится к нулю, мы прибегнем к рассуждению от противного. Если бы Pt не стремилось равномерно к ^-предельной совокупности при limt = +оо, то можно было бы выбрать бесконечную последовательность безгранично возрастающих значений t таким образом, чтобы для всех этих значений точка Pt отстояла от всякой ^-предельной точки на расстоянии, не меньшем некоторого положительного количества d. Но эта последовательность точек Pt должна иметь по крайней мере одну предельную точку Pi, и эта точка будет находиться на расстоянии, не меньшем d, от любой ^-предельной точки. Однако, по определению, Pi есть ^-предельная точка, так что мы пришли к противоречию. Очевидно, что ^-предельная совокупность — связная, так как к ней равномерно приближается точка Рь когда t стремится к +оо, тогда как Pt движется непрерывно вдоль кривой движения(20).
