Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Общая теория динамических систем
209
в со- (а-) предельном множестве данного движения. Имея в виду это определение, мы можем высказать следующее положение:
Или в любой окрестности рекуррентного движения имеются другие рекуррентные движения, или же имеются центральные движения, положительно (отрицательно) полу асимптотические к этому рекуррентному движению.
Доказательство очевидно. Выберем малую окрестность данного минимального множества рекуррентных движений. Из рассуждений предыдущего параграфа следует, что будет существовать движение, входящее в некоторой точке Р в эту окрестность и остающееся в ней после этого при безграничном возрастании t. Если при сколь угодно малом е в совокупности ^-предельных точек этого движения будут другие минимальные множества, кроме данного, то высказанное выше утверждение справедливо. В противном случае движение, проходящее через Р, будет положительно полуасимптотичным к данному рекуррентному движению, тоже в согласии с высказанным утверждением.
§ 11. Транзитивность и интранзитивность. Рассмотрим «частицу» около какой-нибудь точки в некотором связном подмножестве многообразия центральных движений Мг. С возрастанием t эта частица движется согласно дифференциальным уравнениям движения; следовательно, ее движение образует трубку в М, которая должна непременно пересечь сама себя, вследствие свойства региональной рекуррентности. Обозначим через R получаемую таким образом трубчатую область вместе с предельными точками. При возрастании t конец трубки R движется внутрь трубки, и все R переходит в свою собственную или несобственную часть. Но вследствие свойства региональной рекуррентности эта область не может перейти в свою собственную часть, и, следовательно, она переходит в себя. Таким образом, трубка, образованная частицей, при изменении t в любом из обоих возможных направлений будет одна и та же и будет состоять из полных движений.
Но далее имеются две возможности: либо для каждой точки Р, принадлежащей М, и для каждой частицы около этой точки соответствующая область R совпадает с М, либо же для какой-нибудь точки Р при подходящем выборе частицы, содержащей эту точку, R представляет собою только часть М. В первом случае мы будем говорить, что связная часть совокупности центральных движений Мг, будет «транзитивного» типа, во втором случае, что она будет «интранзитивного» типа.
Для проблемы классической динамики транзитивность означает, что любая малая частица при своем движении опишет все многообразие М состояний движений, исключая лишь нигде не плотное множес-
210
Глава 1
тво движений, а интранзитивность означает, что для какой-то частицы это не будет справедливо.
Необходимым и достаточным условием интранзитивности связного множества центральных движений является существование в этом множестве инвариантной связной замкнутой области, составляющей только часть его.
Характерным признаком интранзитивного случая, в классической динамике будет, таким образом, существование инвариантных п-мерных континуумов, состоящих из целых кривых движения и составляющих лишь часть многообразия М.
Очевидно, что приведенное условие необходимо, так как подобной инвариантной областью является вышеописанная область R. С другой стороны, если существует инвариантная область R, то частица, лежащая целиком в R в некоторый момент, будет при своем движении всегда оставаться в R (при возрастании и убывании t), так что движения являются интранзитивными.
В случае интранзитивности все движения являются специальными. Это следует из того, что любое движение лежит либо внутри такого инвариантного подконтинуума, либо на его границе, либо в дополнительном множестве к инвариантному подконтинууму.
В случае, когда какая-нибудь связная часть совокупности Мг центральных движений транзитивна, будут существовать движения, которые как при возрастании, так и при убывании t пройдут, в конце концов, сколь угодно близко от каждой точки этой связной части.
Для определенности мы возьмем в нашем доказательстве Мг — М. Кроме того, сделаем предварительное замечание, состоящее в том, что любая частица при своем движении с возрастанием t покроет все М; в противном случае она определяла бы инвариантную область R в многообразии М как раз того типа, который исключается свойством транзитивности. Следовательно, существуют дуги кривых движения, начинающиеся в любой окрестности данной точки и кончающиеся при большом t в окрестности другой данной точки.
Начнем с того, что выберем положительное количество d, меньшее единицы, и какое-нибудь исчислимое множество точек Рк (к = = 1, 2, ...), которое было бы всюду плотно в М. Очевидно, что если мы возьмем другое множество точек Рк (к = 1, 2, ...), такое, что для всякого к расстояние Рк от Рк будет меньше dk, то это второе множество будет тоже всюду плотно в М.
Для того, чтобы получить движение, которое не было бы специальным, мы можем действовать следующим образом. В d-окрестности точки Р1 мы можем найти такую точку Р[, чтобы для нее существовала дуга Р[Р^ кривой движения, конец Р\ которой лежал бы
