Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
При помощи формул (2) и (3) легко определить соответствующие индексы. В первом и втором случае(5) угловой коэффициент вектора РРп будет равен
Vn ~ V
1 V + .
ип - и М и + . . . ’
где в числителе и знаменателе выписаны члены не выше первого порядка. Отсюда следует, что если /i отрицательно, то вращение вектора РРп будет такое же, как вектора, проведенного от инвариантной точки 7, принимаемой за начало координат, к точке (и, v), т. е. 2п. Следовательно, индекс равен +1, если /i отрицательно. Подобным же образом очевидно, что индекс равен —1, если \х положительно. Переходя к третьему случаю, когда движение будет устойчивого типа, причем по предположению число а в формулах (2) несоизмеримо с 27т, мы видим, что Тп представляет собой вблизи начала координат вращение на угол, несоизмеримый с 27Г, так что вектор РРп вращается на 27т, когда Р обходит
Системы с двумя степенями свободы
221
цикл вокруг I. Следовательно, для движения устойчивого типа индекс равен +1.
Отсюда мы заключаем, что точка I соответствует периодическому движению неустойчивого типа, но относительно точки J пока еще неясно, какого она типа.
На самом же деле при указанных условиях движение, соответствующее J, должно быть устойчивого типа. Числа fi являются корнями характеристического уравнения, которое принимает вид:
если мы выразим его через переменные г, г9. Так как корни этого уравнения — взаимно-обратные числа, то уравнение приводится к виду
где коэффициент при // представляет собой отрицательное число. Следовательно, \i положительно, и J соответствует периодическому движению устойчивого типа.
Этот вывод завершает доказательство для общего случая, когда не имеется кратных периодических движений и I ф 0.
Если первоначальное периодическое движение принадлежит к устойчивому типу, но не к тому совершенно исключительному формальному виду, когда отсутствуют переменные периоды, то, как мне кажется, можно ожидать, что будут существовать близкие периодические движения устойчивого типа.
Этот исключительный случай заслуживает особого внимания; возможно, что он может появиться только в интегрируемой проблеме.
§ 3. Распределение предельно-периодических движений.
Предположим, что для рассматриваемой гамильтоновой системы неин-тегрируемого общего типа имеется по крайней мере одно периодическое движение устойчивого типа. Всякое такое движение изображается замкнутой кривой С в многообразии М состояний движения.
Выберем теперь произвольную замкнутую кривую С\ движения устойчивого типа. Очень близко к ней можно найти замкнутую кривую С*2 движения устойчивого типа, один обход которой соответствует к\ обходам кривой С\. Далее выберем кривую Сз, очень близкую
дгп дгп
дг0 11 дг)() _
dv„ dvn _
дго дг>()
222
Глава 8
к (72 и обход которой соответствует к2 обходам кривой С2 и, следовательно, fei, к2 циклам кривой С\. Таким образом, мы получим последовательность замкнутых кривых Сп (п = 1, 2, ...), которая, очевидно, может быть выбрана таким образом, чтобы она имела пределом при безграничном увеличении п некоторое определенное множество (7; этого мы можем достигнуть подходящим выбором окрестностей Сп. Кроме того, тем же способом мы можем гарантировать, чтобы множество С не содержало ни одной из кривых (7i, (72, ... Например, на п-м шаге мы можем выбрать окрестность кривой Сп настолько малой, чтобы она не содержала никаких замкнутых кривых движения длины меньше п, кроме, может быть, самой кривой (7П; разумеется, таких кривых движения имеется лишь конечное число.
Интересно исследовать вопрос об аналитической форме множества (7. Пусть qi будет угловая координата в М, которая увеличивается на 27г, когда мы описываем один цикл кривой С\. Тогда pi, р2, (72 мы можем считать надлежащими координатами этого движения (§ 1) и можем написать уравнения периодического движения С\ в виде
Pi = fi(Qi), P2=gi(qi), <?2=M9i)> t = Jh(q1)dq1,
где /1, gi, hi, I > 0 суть аналитические периодические функции от q\ периода 27г. Для периодического движения С2 имеем таким же образом уравнения:
Р\ = /2(171), Р2 =g2(qi), <?2 = h2(qi), t = j l2(qi) dqi,
где /2, g2, h,2, I2 суть аналитические периодические функции от qi периода 2&17Г. Таким образом, мы образуем последовательности функций /п, gn, hn, 1п от qi, периодических с периодом 2k\ ...kn-i7r, соответствующих периодическим движениям Сп (п = 1, 2, ...). Если мы возьмем начальные точки на кривых (7П, соответствующие значениям параметра qi = 0, таким образом, чтобы они стремились к некоторому пределу, то очевидно, что функции /п, gn, hn, 1п будут стремиться соответственно к пределам /, g, h, I и притом равномерно для всех значений q\.
Если существует хоть одно периодическое движение устойчивого типа для данной неинтегрируемой гамильтоновой системы общего типа7 то будет существовать бесконечное множество близких движе-
Системы с двумя степенями свободы
223
ний? предельно-периодических, но не периодических, имеющих координаты вида
Рг = lim f„(qi), р2 = lim gn(qi),
п—t оо п—} оо
q2= lim hn(qi), t= / lim l„(qi) dqi,
n—t oo J n—t oo
