Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Вырождающийся случай устойчивого типа является действительным исключением, как показывает пример в главе VI, §4, и требует дальнейшего исследования. Кроме того, формальные ряды перестают быть пригодными в устойчивом случае, когда Л соизмеримо с \/“Т-Они должны быть заменены рядами значительно более сложного типа, относительно строения которых некоторые идеи можно найти, например, в моей вышеупомянутой статье; прежнее определение формальной устойчивости должно быть обобщено таким образом, чтобы возможно было допускать сколь угодно большие периоды.
Между неспециализированной динамической проблемой и в высшей степени исключительным случаем интегрируемой проблемы существует большое количество различных промежуточных случаев. Для того, чтобы обладать аналитическим орудием, применимым ко всем без исключения случаям, без сомнения, необходимо было бы рассмотреть вопрос об устойчивости и неустойчивости аналитических семейств периодических движений, подобно вышерассмотренному периодическому движению. Хотя индивидуальные периодические движения, принадлежащие к такому семейству, должны считаться неустойчивыми, но это обстоятельство само по себе ничего не дает для решения вопроса о том, как будут себя вести близкие движения по отношению ко всему семейству движений, рассматриваемому в целом.
Мы собираемся в дальнейшем рассмотреть главным образом те динамические проблемы, для которых всякое периодическое движение и его кратные являются простыми периодическими движениями с I ф 0.
Системы с двумя степенями свободы
219
Такие системы будут называться «неинтегрируемыми системами общего типа». Мы ограничиваемся этими системами не столько вследствие того, что рассмотрение более общих систем представляло бы какое-нибудь существенное математическое затруднение, сколько во избежание усложнения рассуждений. Интегрируемые системы будут рассмотрены отдельно в § 13, тогда как для промежуточных случаев будут даны некоторые указания о характере результатов.
§ 2. Распределение периодических движений устойчивого типа. Нашей первой задачей будет доказательство следующего утверждения.
Для неинтегрируемых гамильтоновых систем общего типа (га = 2) совокупность периодических движений общего устойчивого типа в М плотна в себе.
Отметим, что эта теорема представляет собой некоторое уточнение результата, полученного в § 1-3 главы VI, согласно которому в любой окрестности такого периодического движения устойчивого типа лежат другие периодические движения устойчивого или неустойчивого типа.
Начнем с того, что напомним утверждения, сформулированные в лемме § 1 главы VI. Мы показали там, что если нам дана сколь угодно малая окрестность начала координат г ^ р (г, $ — полярные координаты), то мы можем найти такое целое число п, что, во-первых, все точки области г ^ р остаются в области г ^ 2р при преобразованиях Т, Т2, ... , Тп и, во-вторых, д'дп/дго положительно при г ^ р, причем значение $п при г = р по крайней мере на 2л больше, чем при г = 0. Легко доказать подобными же рассуждениями, что и дгп/дго и d'dn/dfiо положительны при тех же условиях.
Таким образом, кривая
~ 1?0 — 2&7Г = 0,
где к выбрано так, что при г = 0 левая часть этого уравнения отрицательна, но не меньше, чем — 27т, будет на каждом радиусе иметь одну и только одну точку (г, #), для которой г ^ р. Значит, написанное выше уравнение определяет аналитическую кривую (7, окружающую начало координат и встречающую каждый радиус в одной точке. Но по определению кривой С всякая точка Р, принадлежащая кривой (7, переходит при преобразовании Т в точку Рп, лежащую на том же радиусе; таким образом, кривая Сп тоже встречает каждый радиус только в одной точке. Кроме того, вследствие свойства преобразования Тп сохранять площади, Сп и С будут пересекаться по крайней мере в двух точках; эти точки будут инвариантными точками при преобразовании Тп. В рассматриваемом случае кривые Сп и С не могут совпадать, потому что С соответствовала бы тогда аналитическому семейству кратных периодических движений.
220
Глава 8
Исследуем вопрос об индексах вышеупомянутых инвариантных точек. Для этого можно рассматривать г и $ как прямоугольные координаты точки на плоскости (рис. 5). Здесь I обозначает инвариантную точку, в которой кривая Сп пересекает (7, переходя из внутренней области, образуемой кривой (7, во внешнюю, если мы будем двигаться по Сп в направлении возрастающего $.
Если какая-нибудь точка Р описывает в положительном направлении цикл вокруг 7, например, вдоль квадрата KLMN, то из сказанного выше следует, что вектор РРп будет иметь горизонтальную составляющую, направленную вправо, когда точка Р находится над кривой (7, и влево, когда точка Р находится под кривой (7. В точках Q и R вектор РРп будет направлен соответственно вверх и вниз. Отсюда очевидно, что когда Р описывает этот цикл, вектор РРп поворачивается на угол —27г, так что индекс точки I будет —1; в то же время инвариантная точка J, в которой кривая Сп пересекает (7 в противоположном направлении, имеет индекс +1.
Но согласно нашим предположениям периодические движения, соответствующие точкам I и J, не кратные. Если они принадлежат к устойчивому типу, то число сг не будет для них соизмеримо с 2тг. Соответствующие нормальные формы будут либо типа (3), где /i положительно или отрицательно, но не равно ±1, либо типа (2).
