Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Общая теория динамических систем
203
Если мы рассмотрим совокупности движений Mi, М2,..., приводящие к совокупности центральных движений Мг, то увидим, что а- и иьпредельные движения для движения совокупности Мр лежат в Мр+1.
§ 7. Рекуррентные движения. Рассмотрим теперь произвольную замкнутую связную совокупность Е, состоящую из кривых движения. Мы уже видели выше, что а- и ct;-npeдельные движения для любого движения образуют такие совокупности. В более общем случае, если мы возьмем любую связную совокупность, состоящую из кривых движения, и присоединим ее предельные точки, то получим совокупность Е требуемого типа.
Если совокупность Е не имеет непустого собственного подмножества Е' того же типа, то мы будем говорить, что Е есть «минимальная совокупность движений». В этом случае, если Р есть какая-нибудь точка совокупности Е, то ее а- и (^-предельные точки образуют замкнутые связные подмножества Е, которые должны совпадать с Е.
По определению всякая полная точечная группа в минимальной совокупности является «рекуррентной точечной группой» и всякое движение в этой группе называется «рекуррентным».
Все рекуррентные движения принадлежат к числу центральных движений. Действительно, а- или ^-предельные точки всякого такого движения в Мр образуют совокупность Е в Мр+1, которая должна совпадать с минимальной совокупностью, так что всякая точка нашей минимальной совокупности, лежащая в Мр, должна лежать в Mp+i. Следовательно, вся минимальная совокупность, соответствующая рекуррентному движению, лежит в Мг.
Кроме простейшего случая, когда Е состоит из единственной замкнутой кривой, во всех остальных случаях минимальное множество Е содержит неисчислимое совершенное множество кривых движения(21). В самом деле, представим себе, что Е содержит изолированную кривую движения. Точка Pt на этой кривой имеет точки этой кривой в качестве своих а- или иьпредельных точек. Следовательно, эта кривая должна быть замкнута и составлять минимальную совокупность.
Для того, чтобы точечная группа? образованная движением Pt, была рекуррентной, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного количества г можно было найти такое положительное число Т, чтобы всякая дуга Pt Pt+т кривой движения содержала точки, лежащие на расстоянии, меньшем е от любой точки кривой движения.
Это условие необходимо.
В противном случае существовала бы рекуррентная точечная группа Е, порождаемая движением Pt, и положительное число ?, такое, что, можно найти последовательность дуг Pt Pt+2T (Т — произвольно ве-
204
Глава 1
лико), каждая из которых не имеет ни одной точки, лежащей на расстоянии, меньшем е от соответственной точки Q, принадлежащей Е. При возрастании Т точки Q имеют по крайней мере одну предельную точку Q*, и поэтому очевидно, что для подходящим образом выбранной подпоследовательности дуг Pt Pt+2T никакая точка не лежит на расстоянии, меньшем е/2 от Q. Рассмотрим последовательность середин Pt+т этих дуг. Пусть Р* будет какая-нибудь предельная точка этой последовательности. Мы можем утверждать тогда, что все точки точечной группы, содержащей Р*, находятся на расстоянии, не меньшем е/2 от Q*. Следовательно, Р* определяет замкнутую совокупность, состоящую из точечных групп, лежащую в минимальном множестве Е, но составляющую собственную часть этого множества и в частности не содержащую точку Q*. Это невозможно по самому определению минимального множества.
Для того, чтобы доказать достаточность условия, мы заметим прежде всего, что а- и ^-предельные множества точечной группы, удовлетворяющей этому условию, должны совпадать. Нам нужно только взять t = 0 в произвольной дуге PtPt+T, чтобы убедиться в справедливости этого предположения. Обозначим совокупность этих общих а- и ^-предельных точек через Е.
Если бы совокупность Е не была минимальной, то она содержала бы собственное подмножество Е' подобного же рода, к которому не принадлежала бы какая-то точка Q совокупности Е. Но когда точка Pt приблизится достаточно близко к какой-нибудь точке совокупности Е', то она останется в течение сколь угодно большого интервала времени вблизи от этой замкнутой, связной, состоящей из кривых движения совокупности, и, таким образом, не может приближаться в этом интервале времени к точке Q. Таким образом, требуемое условие не будет выполнено точечной группой, порождаемой Pt. Следовательно, Е есть минимальное множество, и наше движение рекуррентно.
Очевидно, что все рекуррентные движения центральны, но обратное, разумеется, неверно; центральные движения могут быть, могут и не быть рекуррентными. Примером может служить случай дифференциальных уравнений классической динамики, где все движения центральные, но вовсе не обязательно рекуррентные.
§ 8. Произвольные и рекуррентные движения. Значение движений рекуррентного типа для исследования любого произвольного движения можно видеть из следующего предложения.
Среди ш- (а-) предельных движений любого данного движения существует по крайней мере одна рекуррентная группа движений.
Обозначим через Е замкнутую совокупность всех ^-предельных
