Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 64

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 147 >> Следующая

Каждой такой замкнутой геодезической линии, разумеется, соответствуют две инвариантные точки кольца R, отвечающие двум направлениям обхода.
При тех же самых условиях должны существовать, по крайней мере, две геодезические линии, встречающие данную геодезическую линию типа минимакса только в двух точках.
Для доказательства этого утверждения мы будем рассуждать следующим образом. Для точек кольца R мы по определению имеем:
Т(0, р) = к, р\).
С другой стороны, та же самая геодезическая линия может быть взята с обратным направлением, так что
Т(#ъ ж-ri) = {#,*-?).
Если мы теперь определим «отражение» U посредством формулы U = ($, (р) = (0, 7Г - ip),
то получим:
TU(0, <р) = W, п - <р{),
откуда
тити = /,
где / обозначает тождественное преобразование. Следовательно, преобразование TU = V имеет порядок 2, как и ?/, и мы находим, что Т = VU, т. е. это есть композиция двух инволюторных преобразований. Подобным же образом мы находим Т* = V*U, где V* — тоже инволюторное преобразование. Отсюда мы заключаем, что преобразование ТТ* имеет вид VUV*U. Предположим теперь, что у нас имеется инвариантная точка Р относительно преобразования ТТ*, так что
VUV*U(P) = Р.
192
Глава 6
Применяя обратное преобразование (ТТ*) х, мы находим тогда
UV*UV(P) = Р,
откуда
VTT*(P) = V(P).
Следовательно, если Р есть инвариантная точка относительно преобразования ГГ*, то таковой же является V(P).
Но точка V(P) должна быть геометрически отлична от Р, иначе мы имели бы
TU(P) = Р
или, выражая это соотношение через координаты ($, ф) точки Р,
{)\ = О, 7Г — ip* = ip.
Но это означало бы, что ближайшее пересечение, взятое нами геодезической линии g, изображаемой точкой Р на кольце, с минимаксной геодезической линией пересекало бы эту последнюю в той же точке и в противоположном направлении, что, очевидно, невозможно.
Индексы инвариантной точки Р и соответственной второй инвариантной точки V(Р) относительно преобразования ГГ* равны. Действительно, произведем замену переменных, соответствующую символическому уравнению
Q = v(P),
при которой любая точка Р переводится в V(P). Преобразование ГГ* тогда перейдет в
VTT*V = (ГГ*)-1,
в чем легко убедиться сразу, подставляя вместо ГГ* выше выведенное для него выражение VUV*U. Следовательно, преобразование ГГ* в окрестности какой-нибудь инвариантной точки Р эквивалентно обратному преобразованию в окрестности соответствующей инвариантной точки V(P). Но индекс инвариантной точки не изменяется при замене переменных и одинаков для прямого и обратного преобразований. Следовательно, индексы двух соответственных точек Р и V(P) обязательно должны быть равны между собой.
Геометрически очевидно, что соответствующие точки Р и V(Р) отвечают двум возможным направлениям обхода соответствующей им геодезической линии.
Так как обобщенная теорема Пуанкаре дает нам возможность утверждать существование, по крайней мере, двух инвариантных точек с индексами разных знаков, то мы можем из этого заключить, что
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
193
существуют две геометрически различные замкнутые геодезические линии, каждая из которых пересекает данную замкнутую геодезическую линию только дважды.
Таким образом, выделенное выше курсивом утверждение доказано.
Применяя то же рассуждение к высшим степеням преобразования ТТ*, мы можем доказать существование других типов геодезических линий. Кроме того, тут применимы методы § 1 этой главы, с помощью которых мы можем доказать, что в непосредственной близости к любой замкнутой геодезической линии устойчивого типа будет, вообще говоря, находиться бесчисленное множество замкнутых геодезических линий.
В заключение я сделаю еще два замечания относительно проблемы геодезических линий. Во-первых, заключение о том, что существуют по крайней мере две геодезические линии, пересекающие данную геодезическую линию типа минимакса ровно в двух точках каждая, справедливо, несомненно, для поверхностей значительно более общего вида, чем рассмотренные.
Во-вторых, если выпуклая поверхность симметрична в пространстве относительно плоскости, содержащей геодезическую линию g, то будут существовать различные замкнутые геодезические линии, пересекающие g дважды под прямыми углами. Эти симметричные геодезические линии могут быть исследованы методами, аналогичными тем, которые я применил при изучении известных симметричных периодических орбит в ограниченной проблеме трех тел (цитировано выше). Действительно, если g минимаксного типа, то преобразования Т и Т* оказываются тождественными(20), и ТТ* оказывался квадратом произведения двух инволюторных преобразований так же, как основное преобразование в ограниченной проблеме трех тел.
Глава 7
Общая теория динамических систем
§1. Вводные замечания1. Конечной целью теории движения
динамической системы должно служить качественное определение всех возможных типов движений и взаимоотношений между этими движениями.
В настоящей главе делается попытка дать изложение подобной теории.
Как мы видели в предыдущих главах, для весьма общего класса динамических систем совокупность всех состояний движения может быть приведена в одно-однозначное соответствие с точками Р замкнутого n-мерного многообразия М таким образом, что при подходящем выборе координат ... , хп дифференциальные уравнения движения могут быть написаны в виде
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed