Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 73

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 147 >> Следующая

Общая теория динамических систем
211
в с/2-окрестности точки Р2. Возьмем теперь меньшую окрестность около точки Р[, лежащую в d-окрестности точки Pi и обладающую тем свойством, что если точка Р[' будет двигаться, оставаясь все время в этой окрестности, то некоторая точка Р2' на кривой движения, проходящей через Р", соответствующая более позднему моменту времени, изменяясь непрерывно вместе с Р", будет оставаться все время в с?2-окрестности точки Р2. Это, очевидно, возможно.
Но теперь в этой меньшей окрестности точки Р[ мы можем выбрать такую точку Р", что кривая движения, проходящая через Р", пересечет при уменьшающемся t с?2-окрестность точки Р2. Пусть Q2 будет точка, лежащая в этой окрестности на нашей кривой движения. Таким образом, мы получим дугу Q^P^P^ кривой движения, такую, что Р" находится в (/-окрестности точки Pi, в то время как Р2" и (J2 находятся в ^-окрестности точки Р2. Кроме того, мы можем выбрать окрестность точки Р", лежащую целиком в (/-окрестности точки Рх и столь малую, что при непрерывном изменении точки Р{” в этой окрестности мы можем непрерывно изменять оба конца Q™ и Р2" дуги Q^'Pi'P^' кривой движения в с?2-окрестности точки Р2.
Следующим шагом будет выбор такой дуги Q^P^P^P^ кривой движения, что Р”! лежит в выбранной нами малой окрестности, что Р3"' лежит в б?3-окрестности точки Р3. Затем, в результате следующего шага получаем дугу Q^vQ^vР(уР/уPiV и так далее, продолжая до бесконечности. Таким образом мы строим на 2(к — 1)-й стадии дугу кривой движения
п(2к-2) п(2к-2) р(2/г —2) р(2/г-2) р(2/г-2)
4k • •• Ч2 Г1 2 * * * *к 9
причем точки Р^ и Q3k лежат в ^-окрестности точки Р&.
Очевидно, что, переходя к пределу, мы получим кривую движения
...q*(3*p*p2*p* ...
где Р^ и QI лежат в ^-окрестности точки Р&. Значит, множества точек Рх*, Р2 , Р3*, ... и Q*, Q2, ... всюду плотны в М. Следовательно, а-и и;-предельные точки этого движения составляют все М, и само движение не является специальным.
В следующей главе (§ 11) дан пример несингулярной геодезической проблемы транзитивного типа. Представляется вероятным, что вообще после того, как выполнены все очевидные приведения при помощи известных интегралов, задачи классической динамики будут транзитивного типа.
Между самым общим транзитивным случаем и весьма специальным случаем интегрируемой до конца системы лежит бесконечное раз-
212
Глава 1
нообразие промежуточных возможных случаев, зависящих от частных свойств дифференциальных уравнений.
В следующей главе мы будем рассматривать случай систем с двумя степенями свободы. К несчастью, представляется весьма мало вероятным, чтобы методы, применяемые в этом случае, допускали простое обобщение на случай большего числа степеней свободы. Задача трех тел, рассматриваемая в главе IX, в высшей степени поучительна, как пример этого, более сложного случая, несмотря на то, что она относится к сингулярному типу.
Глава 8
Системы с двумя степенями свободы
§ 1. Формальная классификация периодических движений. Глава VI была посвящена предварительному изучению динамических систем гамильтонова типа с двумя степенями свободы (га = 2), в особенности в связи с вопросом о периодических движениях. В настоящей главе мы предполагаем не только рассмотреть полнее вопрос о существовании и распределении таких периодических движений, но также и различных других типов движений.
Для систем этого рода мы имеем сначала четырехмерное многообразие состояний движения с координатами pi, б/ь ?>2? </2- Однако, выбирая какое-нибудь определенное значение постоянной энергии Н = h, мы определяем таким образом в нашем четырехмерном многообразии трехмерное аналитическое подмногообразие. Это трехмерное многообразие мы и будем рассматривать в дальнейшем как многообразие состояний движения. Иными словами, используя интеграл энергии, мы приведем систему дифференциальных уравнений четвертого порядка к системе третьего порядка.
Мы ограничимся рассмотрением только тех случаев, когда М не имеет особенностей, т. е. является замкнутым и аналитическим многообразием, и, кроме того, будем считать, что М не содержит точек равновесия системы, потому что такие точки существуют лишь при исключительных значениях величины h.
Рассмотрим теперь какое-нибудь периодическое движение; оно будет изображаться замкнутой кривой в М. Вообразим себе, что эту кривую пересекает некоторая аналитическая поверхность S. Если, исходя из какой-нибудь точки Р, лежащей на S достаточно близко к периодическому движению, мы будем двигаться вдоль кривой движения в направлении возрастающего времени ?, то мы пересечем S снова в некоторой точке Р1. Мы будем писать Р1 = Т(Р) и, таким образом, определим одно-однозначное аналитическое преобразование Т поверхности S в себя по крайней мере в окрестности данного периодического движения. Преобразование Т оставляет на месте точку, соответствующую данному периодическому движению. Периодическим движениям, близким к данному, но до замыкания описывающим к оборотов, будет
214
Глава 8
соответствовать система к точек Р, Т(Р), ... , Тк 1(F), причем
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed