Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Тк(Р) = Р,
где смысл применяемых символов очевиден.
Существует весьма важный частный случай, когда мы можем указать на некоторые характеристические свойства преобразования Т, основываясь на полученных уже результатах. Это случай, когда гамильтонова проблема получена из лагранжевой, имеющей главную функцию, квадратичную относительно скоростей (глава VI, §13).
Напомним в точности способы выбора координат для этого случая. Прежде всего, лагранжевы координаты qi, q2 выбираются таким образом, что qi является угловой координатой, причем вдоль данного периодического движения q\ равно 27т?/т, где г — период движения, a q2
равно нулю. Далее, из дифференциальных уравнений следует, что ^—
не равно нулю вдоль периодического движения, и мы можем разрешить уравнение Н = h относительно pi в виде
р1 +K(qi, Р2, q2, h) = О,
где К — аналитическая функция своих четырех аргументов и при этом периодическая относительно qi с периодом 27г. Следовательно, gi, р2, q2 составляют вместе подходящую систему координат для М в торообразной окрестности данного периодического движения. Для этих переменных имеют место уравнения гамильтонова типа:
dp2=_dK_ dq2 = dK_ m
dqi dq2 ’ dqi dp2'
Уравнения (1) дают нам возможность выразить координаты р2, q2
вдоль любой кривой движения через угловую координату после чего t может быть найдено простым интегрированием.
Последнее преобразование состоит в замене координаты р2 на новую р2 — р2. Здесь p2(t) есть значение р2 вдоль данной периодической кривой, причем t должно быть заменено его значением вдоль периодического движения qir/2n. Если мы в то же время преобразуем К, прибавив к нему слагаемое q2 dp®/dqi, то вид уравнений (1) будет сохранен, и К останется периодической функцией от q\ периода 27г. Данному периодическому движению будет при этом соответствовать р2 = q2 = 0.
Таким путем делается очевидной природа координат, применяемых для приведения проблемы к проблеме обобщенного равновесия. Эти координаты имеют то преимущество, что если в качестве секущей
Системы с двумя степенями свободы
215
поверхности S мы возьмем «плоскость» qi = 0, то преобразование Т окажется сохраняющим площади. Кроме того, если наше периодическое движение принадлежит к общему устойчивому типу, так что множители ±А в уравнениях (1) суть чисто мнимые количества, несоизмеримые с \/—Т, то, как мы видели (глава VI, § 2), преобразование Т может быть представлено в нормальном виде:
Щ = cos (а + s7q) — v0 sin(<r + sr2) + Ф,
vi = и0 sin(<r + srl) + cos(ег + sr2) + Ф,
где
2 2,2 Г0 = Uq Vq ,
при подходящем выборе переменных и, v; здесь Ф, Ф — сходящиеся
степенные ряды по uq, vq, начинающиеся с членов сколь угодно вы-
сокого порядка. Это преобразование во всяком случае возможно, если величина I = ^/^1s/2tt не обращается в нуль.
Нужно заметить, что выбор поверхности S не влияет на получаемое преобразование Т с точностью до замены переменных.
Изучив подробнее преобразование Т и основываясь на его свойстве сохранять площади и на его нормальном виде (2), мы показали выше, что сколь угодно близко к данному периодическому движению устойчивого типа имеется бесконечное множество других периодических движений.
В случае, когда периодическое движение принадлежит к общему неустойчивому типу, мы можем выбрать множитель А так, что либо само А, либо 2А —\/—1 есть вещественное число(1). Тот же самый метод, который мы применяли в устойчивом случае (глава III, §69), приводит нас к подобному же формальному решению и к вещественному нормальному виду для Т:
щ = fmelr° + Ф,г>1 = j^ve~lr° + Ф ф ±1)? (3)
при условии, что I ф 0; здесь Ф и Ф являются рядами того же типа, что и в формуле (2).
Этот общий неустойчивый случай является очень простым аналитически1. Мы будем иметь две инвариантные аналитические кривые, проходящие через начало координат, которые можно принять за оси и
хСм. мою статью «Surface Transformations and Their Dynamical Applications», Acta Mathematica, vol. 43, 1922, § 27, или статью Hadamard «Sur l’iteration et les solutions asymptotiques des equations differentielles», Bull. Soc. Math. France, vol. 29, 1901.
216
Глава 8
и v. Точки, лежащие на одной из этих инвариантных кривых, при последовательном повторении преобразования Т приближаются к началу координат; точки другой инвариантной кривой удаляются от начала, в то время как точки, не лежащие на этих кривых, сперва приближаются, а затем удаляются от начала.
Если мы применим эти результаты к многообразию М вблизи периодического движения неустойчивого типа, то увидим, что имеются две инвариантные аналитические поверхности, проходящие через кривую периодического движения, одна из которых соответствует аналитическому семейству движений, асимптотических к периодическому движению в положительном направлении, а другая — подобному же семейству движений, асимптотических в отрицательном направлении. Все прочие близлежащие движения сначала приближаются, а затем удаляются от нашего периодического движения неустойчивого типа.
Очевидно, что не может существовать никаких периодических движений, лежащих целиком вблизи данного периодического движения неустойчивого типа в противоположность тому, что мы видели для движений, принадлежащих к общему устойчивому типу (/ ф 0).
