Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 80

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 147 >> Следующая

Любые два такие замкнутые семейства не могут иметь общих движений, за исключением того случая, когда оба имеют один и тот же коэффициент вращения, соизмеримый с 27г. Очевидно, что коэффициент вращения, измеряющий среднее угловое вращение, должен быть одинаков для двух пересекающихся семейств. Для того, чтобы доказать, что этот коэффициент должен быть соизмеримым с 27Г, отметим, что поскольку два данных семейства имеют по крайней мере одно общее движение, но не совпадают между собой, соответственные кривые г = fi(&) и г = /г($) на поверхности S будут заключать между собой одну или несколько областей, ограниченных (каждая) одной дугой каждой из обеих кривых. При повторении операции Т такая область
хСм. мою цитированную статью в Acta Mathematica, § 42 48.
228
Глава 8
должна, в конце концов, налечь на себя и, следовательно, совпасть с собой, причем обе ограничивающие ее дуги переходят, разумеется, в себя. Оба общих конца этих дуг останутся, следовательно, при этом преобразовании Tq инвариантными и, следовательно, коэффициент вращения соизмерим с 27г.
Два семейства с различными коэффициентами вращения не могут пересекаться, и то из них, которое лежит дальше от периодического движения, имеет больший коэффициент вращения.
Будем условно рассматривать все инвариантные семейства, имеющие один и тот же соизмеримый с 27т коэффициент вращения, как образующие одно семейство. Это тем более естественно, что любые два такие семейства должны пересекаться. Внешняя граница соответствующей сети инвариантных кривых на S и ее внутренняя граница не могут не иметь общих точек, потому что они тогда соответствовали бы различным коэффициентам вращения. Это расширенное семейство, согласно формулированному выше утверждению, состоит из конечного числа периодических движений и из некоторых аналитических семейств движений, асимптотических к этим периодическим движениям.
Рассмотрим теперь бесконечную расширяющуюся или сжимающуюся последовательность таких инвариантных семейств. Эта последовательность, очевидно, определяет предельное инвариантное семейство, если только она не сжимается к нашему устойчивому периодическому движению и не расширяется за пределы той окрестности движений, рассмотрением которой мы ограничиваемся.
Эти инвариантные семейства движений вполне различны между собой, т. е. не пересекаются, имеют коэффициенты вращений, возрастающие (или убывающие) вместе с расстоянием от данного устойчивого периодического движения, и составляют замкнутое множество. В случае, если упорядоченное множество инвариантных семейств содержит два последовательных члена, то область многообразия М, лежащая внутри внешней из соответствующих торообразных областей и вне внутренней, может быть названа «зоной неустойчивости»1 .(6) На поверхности S этой зоне соответствует кольцеобразная область, лежащая между двумя последовательными инвариантными кривыми. Такие области будут всегда существовать, если только инвариантные семейства не заполнят окрестность устойчивого периодического движения целиком, за исключением областей, заключенных внутри инвариантных семейств с коэффициентами вращения, соизмеримыми с 27г.
Многие из примененных здесь методов могут быть использованы для более подробного изучения вопросов, связанных с последовательностями инвариантных семейств, зонами неустойчивости и их отно-
1В § 8 этой главы коротко рассмотрен вопрос о существовании таких зон.
Системы с двумя степенями свободы
229
шением к близким периодическим движениям (§8,9). Мы установим здесь только следующее предложение.
Во всякой зоне неустойчивости вокруг данного устойчивого периодического движения существуют движения, исходящие из любой, сколь угодно малой окрестности любого движения, принадлежащего одному из ограничивающих семейств, и переходящие в произвольно заданную окрестность другого ограничивающею семейства.
В самом деле, рассмотрим внутреннюю границу соответственного кольца в S и маленькую область, окружающую произвольную точку этой границы кольца. Бесконечным повторением операции Т определяем инвариантную область, состоящую из области, находящейся внутри этой внутренней границы, самой границы и выбранной нами маленькой области вместе со всеми ее последовательными образами. Границей, определенной таким образом инвариантной области, должна служить внешняя граница кольца, так как внутренняя и внешняя границы кольца являются последовательными инвариантными кривыми на S. Таким образом, образ маленькой площадки подходит сколь угодно близко к внешней инвариантной кривой, что и требовалось доказать.
§ 6. Критерий устойчивости. Легко дать аналитический критерий устойчивости.
Пусть
щ = f(u, v), Vx = g(u, v)
будут уравнения, определяющие преобразование Т поверхности S вблизи инвариантной точки, и пусть г = F($) будет уравнение одной из инвариантных кривых в полярных координатах. Согласно полученным выше результатам F будет тогда однозначной непрерывной функцией от #, периодической периода 2ж и имеющей ограниченное разностное отношение.
Так как эта кривая инвариантна по отношению к преобразованию Т, то уравнение ее может быть написано также в виде r\ = F($i), где г\ и #1, должны быть заменены своими выражениями через г, $, полученными из приведенных выше формул преобразования. Следовательно, если мы заменим г на F(i9), то придем к тождеству и, таким образом, получим следующий критерий.
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed