Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
где /n, gn, hn, ln суть аналитические периодические функции от qi с периодалш7 равными 2nki ... кп-\, причем к\, &2, ••• сг/ть целые положительные числау которые мы можем считать большими единицы. Стремление этих функций к пределу является равномерным для всех значений qi.
Очевидно, что имеется неисчислимое множество таких предельнопериодических движений и координаты их выражаются функциями типа, рассмотренного Бором. Ясно, что они составляют класс рекуррентных движений нового типа.
§ 4. Устойчивость и неустойчивость периодических движений. При рассмотрении периодических движений устойчивого типа в динамических проблемах мы должны их разделить на два основных класса. Может случиться, что все движения, достаточно близкие к данному периодическому движению, остаются в малой окрестности его в течение всего времени. Это есть простейший из двух случаев, и в этом случае рассматриваемое периодическое движение может быть названо «устойчивым». Или же может случиться, что существует такая малая окрестность данного периодического движения, что для нее мы можем найти движения, сколь угодно близкие к данному в начале, но выходящие, в конце концов, из данной окрестности. В этом случае рассматриваемое периодическое движение может быть названо «неустойчивым».
Проведенная здесь классификация, очевидно, может быть применена не только к периодическим движениям, но также и к рекуррентным движениям любого типа. Устойчивость в этом фундаментальном качественном смысле не следует смешивать с ранее определенной, «полной формальной устойчивостью»; периодическое движение устойчивого типа может быть или не быть устойчивым.
Преобразование Т поверхности S дает нам немедленно простое условие устойчивости.
Рассмотрим малую область s поверхности S, содержащую инвариантную точку, и образы si, S2, ... этой области при последовательном применении преобразования Т. Все эти области содержат в качестве внутренней точки инвариантную точку. Бесконечная последовательность областей s, si, ... будет лежать в окрестности инвариантной точки, вследствие нашего предположения об устойчивости движения. Все эти области вместе составляют некоторую окрестность s инвариантной
224
Глава 8
точки, которая переходит в свою часть при преобразовании Т, так как
области s, s 1, ... переходят соответственно в si, __Но s не может
переходить в свою собственную часть, вследствие существования инвариантного поверхностного интеграла. Следовательно, s является инвариантной областью в 5, которой соответствует торообразная область многообразия М, заключающая внутри себя данное периодическое движение.
Необходимым и достаточным условием устойчивости является существование бесконечной последовательности инвариантных торообразных областей, сходящихся к данной кривой периодического движения в многообразии М состояний движения.
§ 5. Устойчивый случай. Зоны неустойчивости. Какова же, однако, природа границы подобной инвариантной торообразной области в М, заключающей данную замкнутую кривую устойчивого периодического движения? Для ответа на этот вопрос мы, естественно, обращаемся к рассмотрению характера соответственной инвариантной замкнутой кривой в 5, составляющей внешнюю границу инвариантной области s.
Будем считать, что наше периодическое движение принадлежит к общему устойчивому типу, но при этом не к тому частному случаю, когда формальные ряды не содержат никаких переменных периодов (§ 1). В этом случае может быть применен нормальный вид (2) с s / О или подобный вид. Мы можем считать, что s положительно, потому что если s отрицательно для Т, то соответствующее количество —s положительно для Т-1. Этот нормальный вид (2) показывает, что вращение против часовой стрелки вокруг инвариантной точки возрастает вместе с радиусом-вектором, если г достаточно мало.
Граница всякой области s, лежащей в достаточно малой окрестности инвариантной точки, встречает каждый радиус в одной точке. Действительно, допустим противное, и пусть s* обозначает совокупность всех точек, лежащих на отрезках, которые соединяют инвариантную точку с точками границы s. Части области 6**, не лежащие в s, ограничены, каждая дугой границы области s и отрезком радиуса и могут быть двух различных типов: либо они лежат рис g вправо от этого отрезка радиуса, либо лежат
слева от него. Но преобразование Т, очевидно, переводит область первого типа, т. е. ограниченную слева отрезком I радиуса, в область, ограниченную границей s и образом li этого отрезка I. Но так как угловая координата возрастает вместе с радиусом, то
Системы с двумя степенями свободы
225
геометрически очевидно (рис. 6), что образ такой области обязательно будет составлять собственную часть области того же типа.
Но это невозможно, так как для преобразования Т существует инвариантный поверхностный интеграл, и, следовательно, это преобразование не может переводить никакую область в свою собственную часть. Таким образом, не существует областей, ограниченных слева отрезками радиуса.
Подобно этому, применяя обратное преобразование Т-1, мы можем показать, что не существует таких же областей, ограниченных справа отрезками радиуса.
