Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, каждый радиус встречает только однажды границу инвариантной области з.
Невозможность того, чтобы отрезок радиуса-вектора составлял часть границы области s, очевидна. Таким образом, граница s действительно встречает каждый радиус в одной точке.
Более тщательное рассмотрение, основанное на нормальном виде, показывает, что для кривой г = /(#), ограничивающей область s, разностное отношение
№)-№)
(ih ~ #2)
ограничено, и при этом мало для инвариантных областей, лежащих в достаточно малой окрестности инвариантной точки1. Справедливость этого утверждения становится почти очевидной, если мы заметим, что Т изменяет направления, достаточно отличающиеся от перпендикулярных направлений к радиусу, переводя их в направления, еще более отличающиеся от последних.
Наши выводы могут быть, таким образом, сформулированы в виде следующего предложения.
Для устойчивого периодического движения общего устойчивого типау с переменными периодами в формальных рядах, инвариантные торообразные области таковы, что граница пересечения такой области с аналитической секущей поверхностью S может быть представлена уравнением г = /(#), где г, •& суть полярные координаты с инвариантной точкой в начале координат, a f — непрерывная периодическая функция от $ с периодом 2тг, для которой разностное отношение ограничено.
Кривые движения, лежащие на границе такой торообразной области, образуют замкнутое инвариантное семейство. Во всяком таком замкнутом инвариантном семействе движений вблизи данного устойчи-
1 Подробности см. в моей уже цитированной статье, §42-48.
226
Глава 8
вого периодического движения имеется по крайней мере одно рекуррентное движение.
Если коэффициент вращения х вдоль соответствующей инвариантной кривой на поверхности S несоизмерим с 2п, то поверхность тора может представлять собой одно минимальное множество рекуррентных движений. В этом случае координаты и время могут быть представлены при помощи непрерывных функций, периодических по двум аргументам.
Для того, чтобы сделать это очевидным, выберем прежде всего угловые координаты на поверхности тора следующим образом: координату мы будем считать равной нулю на S и возрастающей пропорционально времени вдоль каждой кривой движения, причем коэффициент пропорциональности должен быть выбран таким образом, чтобы <р возрастало на 2п между любыми двумя пересечениями с поверхностью S. Координату $ вдоль инвариантной кривой на S нужно определить таким образом, чтобы преобразование Т приняло вид = $ + Хч где х есть указанный коэффициент вращения. Вне S на торе $ можно положить равным значению $ для соответствующей точки на 5, увеличенному на х^/27г с той целью, чтобы сделать $ однозначным на торе.
Х<р
В этих координатах уравнение кривой движения будет $ — $0 = •
Z7Г
Кроме того, координаты pi, qi суть периодические непрерывные функции от (р и таким же свойством обладает dt/dip.
Следовательно, мы можем написать:
где /, g, h, к, I являются непрерывными периодическими функциями обоих аргументов периода 2тт.
Может существовать еще одна возможность. Минимальное множество кривых движения может соответствовать совершенному, нигде не плотному множеству точек на инвариантной кривой; все другие движения будут тогда асимптотически приближаться к этому минимальному множеству рекуррентных движений при бесконечном возрастании или убывании времени1.
1 Доказательства этих теорем и ссылки на предыдущую работу Пуанкаре см. в моей статье. «Quelques theoremes sur le mouvement des systemes dynamiques», Bull. Soc. Math. France, vol. 40, 1912.
Системы с двумя степенями свободы
227
Если, однако, коэффициент вращения будет соизмеримым с 27т и будет иметь вид 2piz/q (р и q — взаимнопростые целые числа), то необходимо должны существовать точки инвариантной кривой, инвариантные относительно преобразования Тя. Можно доказать, что в этом случае вся инвариантная кривая состоит из аналитических дуг, ограниченных точками, инвариантными при преобразовании Тд, в то время как внутренние точки этих дуг стремятся асимптотически к этим инвариантным точкам при повторении операции Т или обратной операции Т-1.1 Мы приходим, таким образом, к следующему заключению.
Всякое такое замкнутое семейство движений вблизи данного устойчивого периодического движения общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, характеризуется коэффициентом вращения. Если этот коэффициент несоизмерим с 2iz? то либо семейство состоит из единственного минимального множества рекуррентных движений непрерывного типа, или же оно содержит совершенное, нигде не плотное минимальное множество рекуррентных движений разрывного типа, к которому все остальные движения семейства стремятся асимптотически при безграничном возрастании или убывании t. Если это число соизмеримо с 2к, то в семействе существует одно или несколько замкнутых периодических движений, тогда как остальные движения семейства образуют аналитические ветви, асимптотические к этим периодическим движениям.
Следует отметить, что этот результат касается и инвариантных подмногообразий многообразия М состояний движения и, в частности, касается центральных множеств такого подмногообразия. Следовательно, можно сделать вывод, что хотя в динамических системах классического типа все движения являются центральными по отношению ко всему многообразию, однако это не обязательно справедливо для инвариантных подмногообразий, так что понятие центральных движений продолжает иметь значение даже для проблем классической динамики.
