Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы видим, насколько различаются между собой классы периодических движений устойчивого и неустойчивого типа.
Переходим теперь к рассмотрению вопроса о том, в какой мере необходимы наложенные ограничения.
Прежде всего, ни в какой точке периодического движения не могут обращаться в нуль одновременно все частные производные интеграла энергии Н, так что многообразие Н = h является правильным аналитическим трехмерным многообразием М вдоль периодического движения. Если вместо pi, </i, р2, <12 в качестве координат выбраны р, д, г, /г, то инвариантный интеграл обыкновенного трехмерного объема принимает вид
//// (р dp dq dr dh,
где <p > 0 есть аналитическая функция от р, q, г, h. Следовательно, интеграл fff ipdpdqdr инвариантен в многообразии М.
Отсюда следует далее, что Т оставляет инвариантным двойной интеграл ff т/idudv, где и, v суть координаты на поверхности 5, а ф > 0 является аналитической функцией от гг и г?. Это можно показать по существу тем же рассуждением, что и в главе VI § 1. Этого обстоятельства уже достаточно для получения нормальных форм (2) и (3) и для получения из них вышеприведенных выводов1.
хСм. мою цитированную статью, где доказывается как высказанное утверждение, так и нижеследующее.
Системы с двумя степенями свободы
217
Следовательно, гамильтонову проблему нам не нужно ограничивать вышеуказанным способом.
В самом деле, можно показать, что для самого общего преобразования Т, имеющего подобный инвариантный двойной интеграл JJ ф du dv, всегда существует формально инвариантная функция v), данная формальными степенными рядами, по степеням и, V. Мы можем определить неустойчивый случай как такой, когда уравнение ft = 0 дает вещественные формальные инвариантные кривые неустойчивого типа. В этом случае всегда имеются асимптотические инвариантные аналитические семейства движений (или аналитические семейства периодических движений, содержащие данное периодическое движение). Все другие соседние движения приближаются и затем отдаляются от данного периодического движения. Таким образом, не существует близких периодических движений, за исключением движений, принадлежащих к. тому же аналитическому семейству, что и данное периодическое движение, если таковые существуют(2).
Если уравнение Г2 = 0 не дает вещественных формальных инвариантных кривых этого рода, то периодическое движение мы можем назвать принадлежащим к устойчивому типу. В рассмотренном выше случае общего устойчивого типа функция ft совпадает с г2 с точностью до членов высшего порядка. Если а несоизмерима с 27Г, тогда как s вместе с некоторыми, но не со всеми подобными константами обращается в нуль, то никаких существенных изменений не требуется, за исключением того, что в формуле (2) член sr$ заменяется на Если
однако, все эти константы равны нулю, то нормальный вид (2) сохраняется с s = 0, и к таким нерегулярным периодическим движениям уже невозможно применить наше прежнее рассуждение, с помощью которого мы показали существование бесконечного множества периодических движений вблизи данного.
С другой стороны, никакого существенного затруднения не возникает для движения устойчивого типа в случае, когда а равно 0 или ±7Г или, общее, когда а соизмеримо с 27т; в этих случаях данное периодическое движение является кратным или само, или если его повторить к раз, где к — надлежащее целое число. В последнем случае необходимо взять вместо Т преобразование Тк, для которого число а будет равно нулю. Здесь инвариантная функция Q, начинается с членов степени высшей, чем вторая, и дальнейшее рассмотрение показывает, что Т аналогично вращению на угол, равный нулю в начале координат и возрастающий (или убывающий) с увеличением расстояния от начала. Представляется, следовательно, весьма вероятным, что в этом случае также должно быть бесконечное множество соседних периодических движений, хотя доказательство этого еще не проведено во всех своих аналитических деталях.
218
Глава 8
Следовательно, в весьма общих случаях устойчивого периодического движения, а, может быть, во всех, за исключением совершенно особого случая, когда Т формально эквивалентно чистому вращению на угол, несоизмеримый с 27г(3), это свойство будет сохраняться. Упомянутый исключительный случай будет тот, когда функция М в формальном решении сводится к своему первому члену Л.
Следовательно, для самого общего случая неустойчивого типа (т=2) характерным является существование асимптотических аналитических семейств движений (или, по крайней мере, аналитических семейств периодических движений, содержащих данное движение). Прочие близлежащие движения приближаются и затем удаляются от данного периодического движения.
В самом общем устойчивом случае, за исключением в высшей степени вырождающегося случая, когда а несоизмеримо с 2тг и формальные ряды не включают никаких переменных периодов, будут иметься соседние периодические движения(4).
Необходимо подчеркнуть, что второе из этих утверждений сформулировано здесь без подробного доказательства, которого я еще не имел возможности провести.
