Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для того, чтобы периодическое движение общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, было действительно устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы некоторое связанное с ним функциональное уравнение
/2(Fcos$, F sin +Я2 (F cos t?, Fsini?) = F2 (arctg °0S F Sm ^ \
I j(F cos 17, i^sinw) j
230
Глава 8
допускало непрерывные решения F($)7 периодические с периодом 2тт, с \F\, сколь угодно малым, но отличным от нуля.
§ 7. Проблема устойчивости. Чрезвычайно важным в динамике является вопрос: следует ли из полной формальной устойчивости периодического движения устойчивого типа, определенной выше, устойчивость в качественном смысле. Аналитические критерии, различающие устойчивый и неустойчивый случаи, чрезвычайно тонки. Здесь имеются две группы вопросов, которые, естественно, возникают в этом случае. Следует ли из формальной устойчивости такая фактическая устойчивость? Если нет, следует ли фактическая устойчивость из формальной в важных частных случаях, например, в ограниченной задаче трех тел?
Можно сказать почти наверное, что в общем случае имеется неустойчивость, хотя до сих пор не было получено доказательства этого предложения. Второй из поставленных вопросов является гораздо более трудным и носит в сущности арифметический характер; его можно сравнить с вопросом о том, будет или нет какое-нибудь данное число трансцендентным.
§ 8. Неустойчивый случай. Асимптотические семейства. Обратимся к аналогичному рассмотрению неустойчивых периодических движений общего устойчивого типа, содержащих переменные периоды в своих формальных рядах. В этом случае не будет существовать инвариантных семейств кривых типа, встречающегося в устойчивом случае, по крайней мере, если мы ограничимся достаточно малой окрестностью данного периодического движения. В соответствии с этим на поверхности S не будет существовать инвариантных кривых, окружающих нашу инвариантную точку.
Во всякой такой области неустойчивости вокруг неустойчивого периодического движения устойчивою типа имеются два связных семейства движений7 достигающих границы области7 которые остаются все время внутри ее7 если t соответственно безгранично возрастает или убывает.
Для того, чтобы доказать это утверждение, рассмотрим, как обычно, преобразование Т поверхности S в соответствующей окрестности инвариантной точки. Пусть а будет очень маленькая область около инвариантной точки, граница которой пересекается каждым радиусом только однажды. Образы ап (п = 1, 2, ...) области а при преобразованиях Тп должны все содержать внутри себя инвариантную точку, и для некоторого значения псгп должна достичь границы ?; в противном случае сумма всех этих областей представляла бы собой инвариантную область сг, граница которой была бы инвариантной кривой исключен-
Системы с двумя степенями свободы
231
ного типа согласно рассуждению § 4. Точки области <тп остаются в S по крайней мере при п повторениях операции Т-1.
Будем теперь все более и более уменьшать диаметр области а. Предельное замкнутое множество(7), полученное таким образом, связно содержит инвариантную точку и точки границы S и будет оставаться в S после любого числа повторений преобразования Т-1. Если мы повторим это же рассуждение, но заменив Т на Т-1, то получим второе подобное же множество, остающееся внутри S при всех последовательных повторениях преобразования Т. Очевидно, что эти два связных множества соответствуют двум связным семействам движений, обладающих указанными свойствами.
Сделаем теперь дополнительное предположение, что наше периодическое движение принадлежит к общему устойчивому типу, имеющему переменные периоды в формальных рядах. В этом случае мы уже видели, что преобразование Т изменяет направления касательных к какой-либо кривой против часовой стрелки по отношению к направлению радиуса-вектора, за исключением касательных направлений, почти перпендикулярных к направлению радиуса-вектора.
Имея в виду это свойство, рассмотрим множество ?а всех точек, остающихся в S при бесконечном повторении преобразования Т-1 и связанных с инвариантной точкой множеством точек того же рода. Согласно с только что доказанным, множество ?а доходит до границы S. Представим себе какую-нибудь регулярную кривую АВ, проведенную из точки А на границе S', имеющую вначале (точка А) направление внутрь области по радиусу и нигде не поворачивающую вправо от радиального направления(8). Все точки, лежащие вне Еа, достижимы от границы S при помощи таких кривых АВ, не имеющих общих точек с ?а (рис. 7). Для доказательства этой «левосторонней достижимости» множества ?а с границы S предположим противное, т. е. что имеется одна или несколько областей недостижимых точек (см. область сг* на рисунке); эти области будут, очевидно, ограничены отчасти отрезками радиуса, от которых они будут лежать вправо (если смотреть по направлению внутрь по радиусу). Преобразование Т-1, очевидно, переводит эти недостижимые области в их собственные части, так как оно вращает радиальные направления по часовой стрелке по отношению к радиальному направлению. Но это невозможно вследствие существования инвариантного поверхностного интеграла.
