Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
^ = Х;(XI, ... ,хп) (г = 1, ... , п)
в окрестности любой точки многообразия М*? где Xi суть вещественные аналитические функции своих аргументов, a t обозначает время. Движение системы представляется в таком случае кривыми, лежащими в М. Через каждую точку Р0 многообразия М проходит одна и только одна подобная кривая движения, и положение точки Р на этой кривой изменяется, как аналитическая функция, в зависимости от положения Р0 и от интервала времени, прошедшего между Р0 и Р. При изменении t каждая точка многообразия М движется по своей кривой движения, и, таким образом, мы получаем постоянный поток многообразия М в самом себе.
Исключая случай, когда М содержит сингулярные точки или область бесконечно удаленной точки, мы ограничимся рассмотрением специального класса динамических систем, а именно системами «несингулярного типа». Большинство теорем, касающихся задач этого типа,
1§ 1-4 взяты прямо из моей статьи «Uber gewisse zentrale Bewegungen dynamischer Systeme», Gottinger Nachrichten, 1926. Остальная часть этой главы тесно связана с моими статьями: «Quelques theoremes sur les mouvements des systemes dynamiques», Bull. Soc. Math. France, vol. 40 (1912); «Surface Transfer mat ions and Their Dynamical Applications», Acta Mathematica, vol. 43, 1922, в особенности § 54 57.
Общая теория динамических систем
195
допускает, однако, обобщения на случаи сингулярных систем. Проблема трех тел, рассматриваемая в главе IX, принадлежит к задачам сингулярного типа.
Дифференциальные уравнения классической динамики принадлежат к более специальному классу и в частности обладают инвариантным n-мерным интегралом. В результате этого любая малая частица а многообразия М, содержащая любую данную точку Pq в некоторый момент времени ?0? должна после любого другого момента времени ti занять положение, частично или полностью покрывающее первоначальное положение, соответствовавшее моменту to-
Это можно показать следующим образом. Положим ti — to = г и рассмотрим положение частицы а в моменты to + 2т, ... Эти по-
ложения не могут не иметь попарно общих точек; в самом деле, если v обозначает величину инвариантного интеграла, распространенного на частицу (Т в ее первоначальном положении, то этой же величине будет равен интеграл во всех последующих положениях, и так как его величина на всем многообразии М конечна и равна, скажем, V то взаимно неналегающих среди этих положений может быть не больше, чем V/vi1). Следовательно, какие-то две частицы i-я и j-я (г < j) налегают друг на друга, иначе говоря, положение частицы а в момент ?0 + гг налегает на положение той же частицы в момент to + Но в таком случае очевидно, что положение частицы в момент to + (j — г)т ^ to + т = t\ налегает на первоначальное. Посредством этого рассуждения и его естественного обобщения Пуанкаре доказал1, что, вообще говоря, движения таких более специальных динамических систем будут возвращаться бесконечно много раз в окрестность своего первоначального состояния и будут обладать родом устойчивости «в смысле Пуассона».
Первая наша задача в этой главе — показать, что с любой динамической системой, не ограниченной подобным образом, всегда связана некоторая замкнутая совокупность так называемых «центральных движений», обладающих этим свойством региональной рекуррентности(2), к которым все другие движения системы, вообще говоря, стремятся асимптотически.
§ 2. Блуждающие и неблуждающие движения. Рассмотрим произвольную точку Ро многообразия состояний движения М. Пусть а будет открытое связное множество малого диаметра ?2, содержащее Р0(3). При возрастании времени t эта «частица» а движется. Может случиться, что Р0 представляет состояние равновесия; в этом
1«Methodes nouvelles de la Mecanique celeste», т. 3, гл. 26.
20чевидно, что в М можно определить расстояние надлежащим образом. Диамет-
ром совокупности точек будет тогда просто верхняя грань расстояний двух точек этой совокупности.
196
Глава 7
случае частица а все время будет содержать Р0; временно мы исключим этот случай из рассмотрения. Во всяком другом случае а через некоторое время придет в положение, не имеющее общих точек с ее первоначальным положением сг0, если только сг0 достаточно мало; это следует из того, что составляющие скорости dxi/dt для всех точек частицы приблизительно такие же, как для Р0. Если можно выбрать е настолько малым, чтобы а после этого никогда не налегала на свое первоначальное положение, то мы будем называть Pq «блуждающей точкой» и соответственное движение «блуждающим движением».
В противном случае точку Р0 мы будем называть «неблуждающей точкой» и соответственное движение «неблуждающим движением». Неблуждающими мы будем, разумеется, называть также точки равновесия и соответственные вырождающиеся «движения»(4).
В этих определениях имеется кажущаяся асимметрия между направлениями возрастания и убывания времени t. Но легко видеть, что фактически нет никакой асимметрии. Действительно, если частица а налегает на свое первоначальное положение <то через промежуток времени т, то она ведет себя так же через промежуток времени — т; потому что, если частицы сто и <гт, налегают друг на друга, то сг_т и <7о, очевидно, тоже налегают друг на друга.
