Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Если какая-нибудь внутренняя точка дуги N1GN2 принадлежит границе 7, то вся дуга N1GN2, должна лежать на этой границе; иначе, кривая h пересекала бы N1GN2, и, следовательно, должна была бы иметь общие точки с TVi A/V2, что противоречит определению N1AN2. В этом случае NxGN2 составляет часть границы 7 и область а лежит целиком в s. Если геодезическая дуга 7ViG7V2 не имеет внутренней точки, принадлежащей 7, то она лежит целиком внутри области s, за исключением точек Ni и N2- Следовательно, если мы возьмем на границе 7 циклическую цепь близких точек
TVi, TV2, • • • , 7Vn,
то различные между собой короткие геодезические дуги TViTV2, TV2TV3, ... , NnNi все лежат внутри s или совпадают с 7. Мы предполагаем, что эта цепь обходит 7 в положительном угловом направлении. В этом случае граница 7 будет все время оставаться слева. Но в построенном таким образом многоугольнике из геодезических дуг угол в области s при любой вершине будет меньше или равен тт. В самом деле, если бы, например, угол при 7V*+i превосходил 7Г, то было бы очевидно, что 7 лежит также влево от короткой геодезической дуги Л^Л^;+2 и, таким образом, точка оказалась бы вполне окруженной точками,
не лежащими на 7, что невозможно.
Но интегральная кривизна части 5, ограниченной этим многоугольником, будет согласно известной формуле в точности равна сумме этих п внутренних углов, уменьшенной на величину (п — 2)7г, и, таким образом, будет меньше 27Г, что невозможно, потому что интегральная
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
187
кривизна каждой из обеих областей, ограниченных кривой g, равна в точности 27г согласно той же формуле.
Таким образом, мы пришли к противоречию, в силу чего наше утверждение о существовании числа L, обладающего тем свойством, что все геодезические дуги длины больше L, пересекают g, должно быть справедливо.
Мы введем теперь систему параметров, определяющих геодезические линии следующим образом: пусть какая-нибудь произвольно направленная геодезическая линия / пересекает данную направленную геодезическую линию g точке Р. Положение точки Р может быть определено ее геодезическим расстоянием $ от некоторой фиксированной точки на g, если полную длину g мы примем за 27т, что всегда можно сделать, выбрав соответствующую единицу длины, то переменная & будет периодической с периодом 27г. Далее, буквой ip мы обозначим угол между положительными направлениями линий g и / в точке Р, так что 0 < р < <^(15).
Следующий раз линия / пересечет линию g в противоположном направлении, и соответствующие координаты ^ и р>\ будут изменяться аналитически вместе с $ и р. Таким образом, мы определяем преобразование Т:
А = ц<р, #), <?; = х(?>,0),
которое переводит в себя кольцо R:
О < (? < 7Г, 0 ^ 1? < 27Г,
где р + 7г и § — полярные координаты точки кольца, так же как в предыдущем параграфе.
Подобным же образом за этим пересечением с координатами р*, будет следовать пересечение снова в первоначальном направлении с координатами pi, #i; таким образом, определяется второе преобразование кольца в себя, а именно Т*:
*>!=/»•(*>*, 0*),
Вдоль границ кольца R мы можем считать преобразования Т и Т* непрерывными. В этом обстоятельстве можно убедиться следующим образом. Если геодезическая линия /, близкая к g, пересекает g под малым углом р в данной точке #, то, разумеется, / пересечет g опять под малым углом р>\ в точке $1, близкой к сопряженной с первой точкой пересечения, как было указано выше. Из этого следует доказываемая непрерывность. Кроме того, мы знаем, что три последовательные сопряженные точки соответствуют дуге, большей одного полного цикла кривой g.
188
Глава 6
Если (р = 0 или (р = 7Г, то будем иметь соответственно (р\ = О или = 7Г, так же как, если ip* = 0 или 7Г, то будем иметь <^i = О или 7г соответственно. Кроме того, если # или г?* возрастает вдоль границы кольца, то соответственно или $i будет возрастать. Действительно, мы уже видели, что если $ — координата точки Р, то есть координата сопряженной точки Р'. Таким образом, Т и Т* суть прямые преобразования^6) кольца, переводящие внутреннюю и внешнюю границы R в самих себя.
Рис. 4
Рассмотрим теперь несколько подробнее характер преобразования Г и Г* вдоль границ. Эти преобразования, очевидно, определены только с точностью до полных оборотов, и желательно было бы установить какое-нибудь соглашение, которое устранило бы этот произвол и дало бы нам возможность сравнить преобразование вдоль внутренней и вдоль внешней границы кольца. Рассмотрим любую направленную дугу P0Pi геодезической линии / между двумя последовательными точками пересечения Р0 и Pi линий fug (рис. 4) и будем называть двойную точку Q дуги P0Pi положительной, если движущаяся точка, описывающая дугу Р0РЬ пересекая свой пройденный путь в точке Q, переходит с левой стороны на правую, и отрицательной в противоположном случае. «Индексом» дуги PoPi мы назовем разность между числом положительных и числом отрицательных двойных точек в дуге PoPi-Определим теперь значение разности $i — $ как равное наименьшей положительной дуге PoPi линии g, увеличенное на 27гг, где i — индекс Дуги.
