Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 59

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 147 >> Следующая

Предположим теперь, что мы имеем какое-нибудь периодическое движение, например, соответствующее одному из гармонических треугольников, описанных в положительном направлении. Очевидно, что преобразование Т переводит состояние движения шара в одной вершине в такое же состояние во второй, состояние во второй вершине — в состояние в третьей и, наконец, состояние в третьей вершине — в состояние в первой. Таким образом, при применении преобразования Т тройка точек кольца перемещается циклически, и все точки этой тройки инвариантны при применении третьей степени Т3 этого преобразования. Обратно, любой тройке точек, обладающей этим свойством, или, иначе говоря, любой точке, инвариантной относительно Г3, вместе с ее образами при преобразованиях Т и Т2 соответствует периодическое
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
179
движение, принадлежащее некоторому гармоническому треугольнику. В этом случае из соображений, приведенных выше, очевидно, что существуют по крайней мере четыре таких тройки. Очевидно, что Т не имеет инвариантных точек, потому что при этом преобразовании (р возрастает на величину, большую нуля и меньшую 27т
Таким путем отыскание гармонических многоугольников и связанных с ними периодических движений в задаче бильярдного шара приводится к определению систем различных точек Pi, ... , Рп, перемещаемых циклически при преобразовании Т, так что Tn(Pj) = Pj. Вообще же говоря, решительно всякое интересное свойство движения бильярдного шара отражается в соответствующем свойстве преобразования Т. Таким образом, динамическая проблема может быть сведена к задаче некоторого специального преобразования кругового кольца в себя.
§ 8. Свойство преобразования Т сохранять площадь. Преобразование Т, выражаемое формулами
tfi = f(fi, <р), <Pi = g{ti, <р),
обладает еще одним свойством, которое позволяет применить к этому преобразованию геометрическую теорему Пуанкаре, а именно: двойной интеграл JJ sin fid# dip, распространенный на какую-нибудь часть кольца 67, равен тому же интегралу, распространенному на образ этой части при преобразовании Т и его степенях. Это — по существу свойство сохранения площадей в измененных координатах.
Прежде чем мы перейдем к совершенно элементарному доказательству этого утверждения, мы укажем на одно его немедленное приложение, подтверждающее сделанное нами выше утверждение о большой теоретической важности преобразований кольца. Так как интеграл, написанный выше, вычисленный на площадях бт0, cri, ст2,..., (а{ = Та{-1), имеет одно и то же значение и так как значение его на всем кольце конечно и равно 47г, то какие-нибудь два образа сгг- и <jj(i > j) должны налегать друг на друга. Применяя обратное преобразование Т-1, получим, что ai-1 и (Tj-i налегают друг на друга и, наконец, что <ii-j и с0 налегают друг на друга также. Но в переводе на язык проблемы бильярдного шара это значит, что можно послать шар с координатами (положением и направлением), сколь угодно близкими к любым данным так, чтобы он в конце концов вернулся сколь угодно близко к тому же положению и направлению. Пуанкаре, развив подробнее эту цепь рассуждений, показал1, что «вероятность» того, что произвольное движение возвращается бесконечно много раз в окрестность своего
^-См. его «Methodes nouvelles de la Mecanique celeste», т. 3, гл. 26.
180
Глава 6
первоначального состояния, равна единице. Он назвал это свойство динамических систем «устойчивостью в смысле Пуассона».
Доказательство того, что написанный выше двойной интеграл инвариантен относительно преобразования Т, основывается на вычислении в явном виде якобиана
j _ д§1 dipi _ ddi dipi 8$ д(р d(p 8$ *
В самом деле, если интеграл JJ М(#, ip) di9 dip инвариантен, то мы имеем:
JJ М(01, (fi!) Мг dtp!= JJ м(0, Ф) М dip,
где областью изменения переменных $i, <^i, является <7i, в то время как переменные #, <р пробегают а. Но согласно основной теореме о замене переменных под знаком кратного интеграла преобразование переменных Т дает для интеграла слева выражение
jj M(#i, ipi) Jdfidip.

Сравнивая это выражение с интегралом справа, распространенным на ту же произвольную площадку, мы выводим, что функциональная зависимость
M(tf 1, 4>1)J = M{d, ip)
необходима и также достаточна для инвариантности интеграла. Следовательно, для того чтобы доказать, что интеграл ff sin $ d$ dip инвариантен при преобразовании Т, мы должны только показать, что
j _ sin# sin$i ’
Пусть
x = F(<p), у = G(<p)
будет параметрическим уравнением кривой С в прямоугольных координатах, так что если г обозначает угол между положительным направлением оси х и положительным направлением касательной к С в некоторой точке Р, то
г = 1/arctg
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
181
Подобным же образом, пусть Т\ обозначает тот же угол для образа Pi точки Р. Этот угол выражается такой же формулой, в которой только ip заменено на ip\. Наконец, пусть а обозначает угол между положительным направлением оси х и направлением движения шара при выходе его из Р (рис. 3).
Очевидно, что имеют место следующие два соотношения:
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed