Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь е стремится к нулю. При уменьшении е вектор LL'y где L — любая точка нашей полоски, все время имеет определенное направление, так как преобразование ТТ? не имеет инвариантных точек. Посредством предельного перехода мы получаем, что для преобразования Т угловое изменение направления вектора LL' будет равно наименьшему возможному положительному углу(13). Этот наименьший положительный угол, разумеется, равен 7Г, потому что начальное направление LL' при L, лежащем на прямой у = а2, будет совпадать с положительным направлением оси абсцисс, а конечное направление LL' при у = Ъ2 будет совпадать с отрицательным направлением оси абсцисс.
Рассмотрим теперь обратное преобразование Г-1, которое принадлежит к тому же типу, что и Г, с той только разницей, что оно передвигает точки прямой у = а2 налево, а точки прямой у = Ь2 — направо. Рассуждением, совершенно подобным тому, которое было приведено
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
175
выше, мы докажем, что если начальная точка L вектора LL( конец которого есть
L(~i) = Т-
ЛЬ, движется от какой-нибудь точки прямой у = а2 до точки прямой у = Ь2, то полное изменение угла вектора с осью абсцисс будет равно наименьшему отрицательному углу, т. е. —тт.
Но полный поворот вектора ЬЬ^~г^ в точности равен полному повороту обратно направленного вектора соединяющего точку
на у = а2 с ее образом L при преобразовании Т.
Следовательно, по предыдущему полное изменение направления вектора при движении L (или L( от прямой у = а2 до пря-
мой у = Ъ2, должно быть равно 7г, между тем как мы только что получили, что оно должно быть равно —7г. Мы пришли, таким образом, к противоречию, из которого следует, что преобразование Т должно иметь по крайней мере одну инвариантную точку.
Для того, чтобы доказать, что таких точек должно быть не менее чем две, мы можем применить способ, примененный Пуанкаре.
Пусть точка L описывает основной прямоугольник
О ^ х <$ 27г, a2 <i у <ih2
в плоскости (ж, у) в положительном направлении. Очевидно, что при этом полный поворот вектора LLf будет равен нулю, потому что вектор LL' не изменяет направления вдоль стороны у = а2 и вдоль стороны у = 62, а повороты вектора вдоль сторон х = 0 и х = 2тг дают в сумме нуль. Но если L описывает замкнутый путь вокруг простой инвариантной точки, то поворот вектора LLf будет равен ±27г. Следовательно, мы видим, что либо имеются по крайней мере две простые инвариантные точки, такие, что повороты вектора LL' вокруг них равны +27Г и —27г соответственно, либо по крайней мере одна кратная инвариантная точка. В действительности будут всегда существовать по крайней мере две геометрически различные инвариантные точки1.
§6. Проблема бильярдного шара2. Для того, чтобы дать пример, иллюстрирующий применение теоремы Пуанкаре и ее обобщений, мы рассмотрим прежде всего специальную, но весьма типическую задачу этого рода, а именно задачу о движении бильярдного шара на ограниченном выпуклой кривой бильярдном столе. Эта система представляет очень большой интерес по следующим основаниям. Всякая ла-гранжева система с двумя степенями свободы изоморфна с движением материальной частицы на гладкой поверхности, равномерно вращающейся около постоянной оси и носящей на себе консервативное поле
¦^м. мою статью «Ап Extension of Poincare’s Last Geometric Theorem», Acta Mathematica, vol. 47, 1926(1).
2§ 6 9 взяты из моей статьи «On the Periodic Motions of Dynamical Systems», Acta Mathematica, vol. 48, 1927.
176
Глава б
сил1. В частности, если поверхность не вращается и если поле сил отсутствует, то частица будет двигаться по геодезическим линиям. Если мы теперь сплющим поверхность, сделав ее плоской областью, ограниченной выпуклой кривой С, то получим «проблему бильярдного шара». Но в этой проблеме формальная сторона, обычно столь устрашающая в динамике, не играет почти никакой роли, и только интересные качественные вопросы требуют рассмотрения. Если кривая С — эллипс, то получается интегрируемый случай, а именно предельный случай эллипсоида, рассмотренного Якоби.
В проблеме бильярдного шара можно прийти к некоторым периодическим движениям прямым применением методов максимума — минимума. Так как это представляет интерес само по себе, я укажу здесь, как это можно сделать. Результаты, полученные Морсом (см. главу V, § 8), показывают, что область применения этих методов, уже развитая до известной степени Пуанкаре, Адамаром, Уиттекером и мною, может быть еще расширена. Таким образом, легко может оказаться, что значение метода минимума-максимума в проблеме бильярдного шара типично для общего случая.
Длиннейшая хорда границы С бильярдного стола, пройденная в обоих направлениях, очевидно, дает одно из простейших периодических движений. Бильярдный шар, движущийся по этой хорде, ударяется об ограничивающую стол кривую под прямым углом и откатывается обратно по этой хорде. Если мы будем непрерывно изменять эту хорду, уменьшая длину ее настолько мало, насколько это возможно, так, чтобы в конце этого преобразования ее оба конца поменялись местами, мы будем иметь промежуточное положение наименьшей длины, которое будет хордой, пересекающей С в месте наименьшей его ширины. Эта хорда дает второе периодическое движение. Детальное изучение небольших возмущений обоих этих периодических движений показывает, что первое движение неустойчиво, в то время как второе может быть устойчивым или неустойчивым.
