Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 52

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 147 >> Следующая

160
Глава 6
можно построить примеры, показывающие, что к этому случаю заключение о существовании бесконечного множества периодических движений в окрестности данного периодического движения неприменимо (см. §4 этой главы).
Нормальный вид уравнений дает нам средство для изучения преобразования Т. Свойство преобразования Т, которое нам необходимо для наших целей в настоящий момент, заключается в следующей лемме, доказательство которой мы откладываем до следующего параграфа.
Лемма. Если I / 0? то при соответствующем выборе переменных р, q мы можем для любого достаточно малого положительного числа е найти такое целое положительное число п, что всякое преобразование Т1' (и ^ п) преобразует круг г ^ ?(2)? с центром в инвариантной точке г = 0, в область, лежащую в круге радиуса 2е, причем угловое вращение, производимое преобразованием Тп, которое равно 27тА/\/—1 при г — 0? возрастает вместе с г вдоль любого радиуса нашего круга г ^ е, достигая при г = е величины не менее чем на 27г большей, чем при г = 0.
Пусть г, $ будут полярными координатами точки и пусть (гп, $п) обозначает образ точки (г, $) при преобразовании Тп, причем прямоугольные координаты р, q, радиус е и целое число п выбраны так, как требуется только что приведенной леммой. Для любого постоянного $п разность $п — $0 будет возрастать, таким образом, от 27гпА/\/—1 при г = 0 до величины, по крайней мере на 27т большей при г = е. Следовательно, если обозначим через 2ктт наименьшее целое кратное 27т, большее, чем 27гпА/\/—1, то уравнение
$п — $ о = 2ктт
будет иметь единственное решение вдоль каждого радиуса-вектора. Следовательно, аналитическую кривую (7, изображаемую этим уравнением, каждый радиус-вектор встретит в одной и только одной точке.
Рассмотрим теперь образ Сп этой кривой при преобразовании Тп; кривая Сп пересечет кривую С в некоторой точке Q, так как если бы Сп лежала полностью внутри или вне С, то Тп не могло бы быть преобразованием, сохраняющим площади в первоначальных координатах. Точка Q является образом при преобразовании Тп некоторой точки Р, лежащей тоже на С. Кроме того Р и Q имеют одинаковое $ по определению кривой С. Следовательно, Р и Q должны совпадать, и точка Р инвариантна по отношению к преобразованию Тп. Так как е сколько угодно мало, то мы получаем требуемый результат.
В случае обобщенного равновесия общего устойчивого типа для гамильтоновой проблемы с одной степенью свободы существует бесконеч-
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
161
нов множество периодических движений в любой окрестности точки обобщенного равновесия.
§2. Доказательство леммы §1. Определим функцию F(u) из уравнения
luF2(u) = М (и) - А.
Очевидно, что F(u) есть квадратный корень из вещественного по-линома степени ji — 1 со свободным членом, равным единице. Если мы положим, далее,
Р = F(pq)p, q = F(pq)q,
то найдем, что вышеуказанный нормальный вид для Т еще больше упрощается и приводится к
р = |>ое(л+^о</о)* _|_ q — ^ое-(л+^о</о)? _|_
так что все члены М, кроме первых двух, обращаются в нуль. После того, как мы заменим р, q соответственными вещественными перемен-p + q p-q
ными —?— и —2—’ К0Т0Рые мы для простоты будем снова обозначать через ру q и введем обозначения а и s для вещественных констант 27гЛ/\/—1 и 27г//у/—1 соответственно, мы получим следующие формулы, определяющие преобразование Т:
Pi = Ро cos (а + srl) - q0 sin(cr + згд) + Р qi = ро sin(cr + srl) + qo cos (a + sr%) + Q
где P, Q суть вещественные степенные ряды относительно Qo с начальными членами не ниже (2//+1)-го порядка. Очевидно теперь, что по отношению к этим переменным Т будет обыкновенным вращением на угол (j + sro с точностью до членов порядка 2//+1 относительно расстояния точки до начала. Именно эти переменные мы примем в дальнейших рассуждениях. Если I ф 0, то мы можем считать s положительным.
Следовательно, мы имеем в некоторой фиксированной окрестности начала и для фиксированного К:
|P|, |Q| ^ Krl»+1. (2)
Из вышеприведенных формул находим тотчас же
(r2o=P2o + Q2o), (1)
г? = rl + R,
(3)
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
163
сходится для достаточно малых Го его частные производные представляются производными рядами подобного же вида. Формула (6) показывает, что при Го = 0 мы имеем $ = $0 + ntr, а при т*о > О разность $п — — па может быть сделана сколь угодно большой, если
мы возьмем п достаточно большим, но в пределах применимости неравенств (5)(5).
С помощью формул (3) и (6) получаем:
dpi
дро
001
дро
- 1
— S
dpi
’о > д#о
/'-1 №1
’о ' dti о
- 1
(г)
где р обозначает r2,ai есть надлежащая положительная константа. Но тождества
д рп _ &Рп dpn— 1
дро дрп-\ дро
ддп _ д$п dpn-i
дро dpn-i дро
могут быть переписаны в виде
+
+
дРп 1
дро ’ д$п д#п-г д^п-1 дро
ип = (1 + €i)un-i + e2vn-ly vn = (s + ?3)ип-1 + (1 + e±)vn-
(8)
где мы обозначаем
дрп
dtir.
'*п~ dpo' n~ дро' в то время как из неравенств (5) и (7) следует для п ^ Nр^1
kiK22^, |е2| ^22»+2Ар»+\
|езК22»-2Ар»~\ Ы^2
Эти уравнения (8) позволяют нам определить г/п, vn последовательно для п = 1,2,... с начальными условиями щ = 1, г?о = 0.
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed