Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пренебрежем теперь на мгновение малыми членами в этих уравнениях (8). Они тогда принимают вид
Un — ^п—li — S^>n—1 “I- Vn—1?
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
163
сходится для достаточно малых Го его частные производные представляются производными рядами подобного же вида. Формула (6) показывает, что при Го = 0 мы имеем $ = $0 + па, а при т*о > О разность $п — — па может быть сделана сколь угодно большой, если
мы возьмем п достаточно большим, но в пределах применимости неравенств (5)(5).
С помощью формул (3) и (6) получаем:
dpi
дро
001
дро
- 1
— S
dpi
’о > д#о
/'-1 №1
’о ' dti о
- 1
(7)
где р обозначает г2, а А есть надлежащая положительная константа. Но тождества
д рп _ дРп & Рп— 1
дро дрп-\ дро
ддп _ д$п дрп-1
дро dpn-i дро
могут быть переписаны в виде
+
+
дРп 1
ддп-i дро ’
д$п flfln-l
dfin-i дро
ип = (1 + €i)un-i + 62vn-i, vn = (s ?%)un-i + (1 + e±)vn-
(8)
где мы обозначаем
дрп
dtir.
'*п~ дро' п~ дро' в то время как из неравенств (5) и (7) следует для п ^ Nр^1
kiK22^, |е2| ^22»+2Ар%+\
|езК22»-2Ар»~\ Ы^2
Эти уравнения (8) позволяют нам определить г/п, vn последовательно для п = 1,2,... с начальными условиями щ = 1, г?о = 0.
Пренебрежем теперь на мгновение малыми членами в этих уравнениях (8). Они тогда принимают вид
Un — У'п—1? п 1 “I- Vn—1^
164
Глава 6
откуда, исключая и, получаем:
Д — ^n+2 2vn-\-i + Vn — 0.
Легко убедиться в том, что в результате исключения и из уравнений (8) получается подобным же образом
^ — ?5 (9)
где для ?5, ?б имеем неравенства:
|е5|, |?б| ^ БД-1 (п <С Np^) (Ю)
в малой окрестности начала координат. Кроме того, начальные условия могут быть записаны в виде
Vo = 0, Д«о = й + ?з, (11)
где ?3 обозначает ?3, когда мы заменим pn_i, $n-i соответственно через р0, $0-
Очевидно, что =3 + 63 положительно и, следовательно, согласно формуле (9) г?2, ^з, ... , тоже положительны для п = 1, 2, ..., пока п не станет слишком велико, если только р0 достаточно мало, причем величина vn приблизительно равна ns. Мы хотим теперь определить более точно промежутки значений р0 и п, для которых vn остается положительным. В этих пределах переменный угол $п возрастает вместе с р0, если угол $о фиксирован.
Но уравнение (9) есть однородное, линейное, разностное уравнение второго порядка по vn, и мы рассматриваем частное решение его, удовлетворяющее соотношениям (11). Очевидно, что vn будет оставаться положительным по крайней мере до тех пор, пока Avn положительно. Первым вопросом, таким образом, будет определение пределов значений п, для которых как vn, так и Avn обязательно будут положительными. Но линейное разностное уравнение дает
A2vn ^ -Вр%~1(|Дг>„| + |г>„|),
так что vn и Дг>п, очевидно, уменьшаются медленнее, чем если бы
A2vn = -Вр^~х(А vn + vn),
пока vn и Avn остаются положительными(6). Таким образом, vn и Avn будут оставаться положительными при п — 1,2,... по крайней мере
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
165
так же долго, как это имеет место для решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами
«п+2 - (2 - Bp%~l)vn+1 + vn = О
удовлетворяющего начальным условиям (11). Но этим решением будет выражение
оч е1
vn — (s + ?3)
а1п —
ааг _ ра2 ’
(12)
где ai, 02 определяются равенством
ai = log
1 - iвр»-1 ± J- (вр*-1 - i^Vo"-2)
(г = 1, 2).
Определенные таким образом vn и Avn во всяком случае останутся положительными до тех пор, пока dvn/dn не обратится в нуль, т. е. пока не будет выполнено равенство
Jai-a2)n _
6 “ «Г
Так как главный член очевидно, равен
д-1
2^/^Bp0^
<*2
а главный член — равен —1, то это соотношение показывает, что п
должно быть порядка
Отсюда мы заключаем, что до тех пор пока п [срав-
нить с (5)], угол $ будет возрастать вместе с г о при фиксированном $о в указанной окрестности(7).
Характер выведенных выше неравенств делает очевидным, что мы можем выбрать значение г0 столь малым и затем п столь большим, чтобы выполнялись все условия, сформулированные в лемме.
§ 3. Периодические движения вблизи данного периодического движения т — 2. Мы видели уже (глава IV, § 1) как пфаффова система уравнений общего вида, не содержащая времени t в явном виде, допускает приведение к подобной же системе с меньшим на единицу
166
Глава 6
числом степеней свободы при условии, что мы ограничимся рассмотрением движений вблизи данного периодического движения. В приведенной системе, однако, независимая переменная появляется в дифференциальных уравнениях с периодом т, а данное периодическое движение принимает вид обобщенного равновесия.
В этом параграфе мы намерены рассмотреть периодические движения в окрестности данного периодического движения для гамильтоновых уравнений с двумя степенями свободы (га = 2):
dpi = _dH dqi = dH dt dqi’ dt dPi’ { >
в которых H есть аналитическая функция от piy р2, q2 не содержащая времени t. Однако такое периодическое движение допускает аналитическое продолжение с изменением постоянной энергии Н = h (глава V, § 9) и, следовательно, не изолировано.
Нашей целью будет рассмотреть те периодические движения, которые принадлежат тому же значению h, что и данное периодическое движение. Это значение может быть принято равным нулю.
