Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 51

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 147 >> Следующая

Обозначим единственную пару переменных через р, q, так что гамильтонова главная функция Н будет зависеть от р, д, ?, являясь периодической функцией от t периода 27т, и вместе со своими первыми производными она будет обращаться в нуль в начале координат, т. е. при р = q = 0 и всех значениях t.
хСм. мою статью «Ап Extension of Poincare’s Last Geometric Theorem», Acta Mathematica, vol. 47, 1926(1).
158
Глава 6
Если теперь (реи Qo) есть какая-нибудь точка вблизи начала координат, то существует единственное решение:
Р = f(Po, qo, t), q = g(po, qo, t),
принимающее при t — 0 значения (p0, q0); это решение аналитично B Ро, Qo, t ПРИ t сколь угодно большом и ро, qo достаточно малых. Обозначим через р-\_, qi значения р, q при ?, равном полному периоду 27г. Иначе говоря, имеем
Pi = f(Po, qo, 2тг), <71 = g(j>0, g0, 2тг),
где f и g — аналитические функции от р0, q0, обращающиеся в нуль вместе с этими переменными.
Таким путем мы определяем преобразование Т, имеющее такую же природу, что и преобразование секущей поверхности, рассмотренное в предыдущей главе (§10). В самом деле, если мы введем новую зависимую переменную г = ?, то система двух уравнений Гамильтона может быть заменена эквивалентной системой:
dp = _№ dq=m dr _
dt dq ' dt dp' dt
где H — функция от p, g, г периодическая по г с периодом 2тт. Для этих уравнений многообразие состояний движения будет 3-мерным пространством с координатами р, д, г, в котором ось г изображает периодическое движение, а именно то, которое отвечает обобщенному равновесию в первоначальной системе; не нужно забывать, что г является угловой координатой. Далее, как мы видели выше, поверхность ср = г = 0 будет служить секущей поверхностью, но с той разницей, что мы вынуждены ограничиться некоторой окрестностью начала координат. Исходя из точки (р0, Qo, 0) на этой секущей поверхности и двигаясь вдоль линии потока, мы придем в точку (pi, qly 27г), т.е.
в (pi, gi, 0). Таким образом, написанное выше преобразование дейст-
вительно является преобразованием Т секущей поверхности, которое, однако, только локально определено. Такие «локальные секущие поверхности» могут быть построены в окрестностях периодического движения в любой динамической проблеме; достаточно взять элемент поверхности, пересекающий, но не касательный к соответственной линии потока в многообразии состояний движения.
Но поток, определяемый тремя вышеприведенными уравнениями, представляет собой движение несжимаемой жидкости, так как расхождение правых частей уравнений равно нулю. Следовательно, если мы
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
159
(посмотрим какую-нибудь трубку, состоящую из отрезков линий потока между параллельными плоскостями г = 0 и г = 27т, которая движется постоянно с единичной скоростью в направлении оси г, то увидим, что через первое основание в течение времени At пройдет объем, равный приближенно сг0Д? (где сг0 есть площадь первого основания), а через второе основание за то же время — объем, равный приближенно criAt (ai — площадь второго, основания), и эти объемы должны быть равны. Если Лt стремится к нулю, то мы получим в пределе ctq — сг!. Так как сг0 — произвольная площадка на плоскости г = 0, то из предыдущих рассуждений очевидно, что Т должно быть сохраняющим площадь преобразованием переменных ро? Яо- Это важное свойство преобразования Т соответствует некоторому общему свойству преобразований, связанных с динамическими проблемами.
Необходимо теперь формулировать условия, которые должны быть наложены на обобщенное равновесие для того, чтобы мы могли сделать требуемое заключение о существовании бесконечного множества периодических движений в окрестности точки обобщенного равновесия. Прежде всего мы предполагаем, что обобщенное равновесие принадлежит к общему устойчивому типу и что оно обладает полной устойчивостью. Значение нормального вида уравнений (глава III, § 9) заключается в том, что решение их может быть написано под видом:
р = p0eM{paqo)t + Ф, q = q0e-M{poqo)t + Ф
соответствующим образом выбранных сопряженных переменных р, д. Здесь Ф и Ф являются сходящимися степенными рядами относительно ро? </о с начальными членами сколь угодно высокой степени 2/i + 1. Все коэффициенты этих рядов суть аналитические функции t.
Эти ряды сходятся абсолютно и равномерно для любого фиксированного промежутка значений t, например, для |t| <С 27т, если только ро? qo достаточно малы. За функцию М можно взять полином степени не выше ц относительно произведения р0? #(ъ с чисто мнимыми постоянными коэффициентами, т. е. вида
А + Ipoqo + ... + sp$ qg,
где А есть множитель. По условию устойчивости А/л/^Т — иррациональное число, и, в частности, А = 0. Наше второе условие будет заключаться в том, что I не равно нулю. В случае, если I есть нуль, но какой-нибудь другой коэффициент в М отличен от нуля, может быть применено по существу то же рассуждение, что и в случае I ф 0. Таким образом, единственным исключительным случаем будет тот, когда формальный ряд М в полностью нормализованных уравнениях сводится к постоянной, равной А. Это будет весьма исключительный случай, и
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed