Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Возможность приведения к пфаффовой системе с одной степенью свободы (га = 1) вместе с результатами предыдущего параграфа делает с самого начала весьма вероятным, что в окрестности данного периодического движения будет, вообще говоря, бесконечное множество периодических движений с большим периодом, если только данное периодическое движение устойчиво.
При рассмотрении этого вопроса мы сделаем дальнейшее допущение, что данная гамильтонова проблема связана с обыкновенной лагранжевой проблемой, имеющей главную функцию L, квадратичную относительно скоростей. Если qiy q2 суть координаты этой лагранжевой системы, то уравнения
Pi = ?l (* = 2)
dq\
служат, разумеется, для определения переменных pi, р2.
Пусть qi = qi(t), q2 = q2(t) будут уравнения, изображающие данное периодическое движение периода т, и рассмотрим соответствующую аналитическую кривую в плоскости (qi, </2)-
Очевидно, что мы можем ввести новую систему координат q2 так, чтобы q2 обращалось в нуль вдоль периодического движения, a q\ возрастало на 27т, когда точка проходит полный период периодического движения. Например, если кривая движения не имеет двойных точек,
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
167
то ее можно деформировать в окружность с центром в начале координат, и тогда мы можем за и q2 принять соответственно угол и радиальное смещение. Вообще же говоря, очевидно, что мы можем при-
_ Отт t
нять qx = вдоль периодического движения. Разумеется, эта замена переменных q\, q2 на ql3 q2 не изменит лагранжева характера динамической проблемы, но новая главная функция L будет периодической относительно переменного qx с периодом 27г.
Соответственная гамильтонова проблема будет иметь вид (13), где Н будет периодической функцией от qi периода 27т, причем для рас-
?7Г t
сматриваемого периодического движения будем иметь qi = q2 = 0.
Из соответствующих гамильтоновых уравнений получим (также вдоль данного периодического движения):
= дН о=дН Т дР1' др2'
Очевидно теперь, что мы можем решить уравнение Н = h относительно pi и получить решение в виде
Pi+K(q1,p2,q2,h)=0, (14)
где К есть вещественная однозначная аналитическая функция своих четырех аргументов, периодическая с периодом 27т по qi. Кроме того, мы можем рассматривать /г, gi,P2? #2 как зависимые переменные, вместо pi, qi, Р2, #2; мы замечаем, что уравнение (14) может быть разрешено относительно h, так как из соотношения Н — h мы получаем:
dHdpi dpi dh
так что dpi/dh ф 0 вдоль движения. После того, как мы подставим наши новые переменные h,qi,p2,q2 вместо q1, #2, вариационный
принцип (глава II, § 10) примет вид
ti
6 J(-Kq[ + p2q2 - 2)dt = 0, (15)
to
который приводит к четырем уравнениям:
168
Глава 6
Из этих уравнений мы можем непосредственно вывести соотношение h = const, справедливость которого, разумеется, и так известна.
Но очевидно, что в окрестности данного периодического движения qi может служить независимой переменной так же, как t. Исключив t из предыдущих уравнений, получим:
dP2=_dK ^2 = дК П6Ч
dqi dq2 ’ dqx др2'
Здесь мы должны положить h — 0 в функции К, которая является периодической функцией от qi периода 27г. Данное периодическое движение соответствует значениям р2? Q2-
p2=<p(qi), ?2 = о,
где (р — периодическая функция r?i, с периодом 2тг. Эти уравнения будут, очевидно, гамильтоновыми с одной степенью свободы (га = 1), и мы можем преобразовать их в гамильтонову систему с точкой обобщенного равновесия в начале координат, если положим
р2 =Р2 -p{qi), q2 = Q2,
причем новой главной функцией будет
K = K + <p'(q1)q2.
И обратно, если мы имеем решение уравнений (16), то мы можем определить t с помощью уравнения
dt = дК dqi dh
и получить решение первоначальной системы, приняв за независимую переменную t. Таким образом, системы (13) и (16) эквивалентны1. Периодические движения в окрестности данного периодического движения для (13) соответствуют движениям с периодом 2kir в окрестности начала координат для системы (16).
Для гамильтоновой проблемы (13), приводящейся к проблеме обобщенного равновесия устойчивого типа (I ф 0), существует бесконечное множество периодических движений в окрестности данного периодического движения, причем период каждого такого движения, вообще говоря,
1 Относительно произведенных приведений см. Whittaker, Analytical Dynamics, гл. XII.
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
169
соответствует много раз повторенному периоду первоначального движения.
Это предложение, разумеется, получается непосредственным применением результатов § 1 этой главы к приведенной проблеме (16).
§ 4. Некоторые замечания. Общее заключение, которое можно сделать из рассуждений предшествующих параграфов, состоит в том, что для данного значения постоянной энергии существуют, вообще говоря, периодические движения в окрестности данного периодического движения устойчивого типа по крайней мере в том случае, если наша динамическая система имеет две степени свободы и относится к обычному типу (I ф 0). Тот факт, что могут существовать изолированные периодические движения устойчивого типа даже для динамических систем с двумя степенями свободы, мы можем доказать следующим простым примером.
