Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для удобства мы прежде всего сформулируем эту теорему.
Геометрическая теорема Пуанкаре. Пусть нам дано кольцо 0 < а ^ <С г ^ b в плоскости, определяемой полярными координатами г, $ и некоторое одно-однозначное непрерывное, сохраняющее площадь преобразование Т этого кольца в себя и при этом такое? что точки окружности г = а передвигаются при этом преобразовании вперед (т. е. в направлении возрастающих $)? а точки окружности г = Ъ передвигаются назад (в направлении убывающих $). Тогда в кольце будут существовать по меньшей мере две точки, инвариантные при преобразовании Т.
Мы наметим вкратце доказательство этой теоремы.
Будем считать х = $ и у = г2 прямоугольными координатами точки на плоскости (ж, у). Наше кольцо будет на этой плоскости представлено полоской а2 ^ у ^ Ъ2. Преобразование Т этой полоски в себя передвигает точки границы у = а2 вправо, а точки границы у = Ъ2 — влево. Кроме того, преобразование Т сохраняет площади в плоскости (ж, у), так как 2г dr dfi = dxdy, и перемещает одинаковым образом любые две точки, имеющие одинаковую ординату и абсциссы, различающиеся на число, кратное 27г.
Присоединим к Т новое преобразование Те, совершающее перенос всех точек плоскости (ж, у) на расстояние е > 0 в направлении возрастающих у. Композиция преобразований Т и Те, (в порядке сначала Т, потом Те,) дает сохраняющее площадь преобразование ТТе которое переводит данную полоску а2 у Ь2 в полоску а2 + ? ^ у ^ Ь2 + в.
Предположим, что преобразование Т не имеет инвариантных точек, тогда существует такое положительное количество d, что все точки перемещаются на расстояние, не меньшее d при преобразовании Т(8). Выберем за ? число, меньшее d.
хЭтот параграф по существу совпадает с § 34 моей статьи «Dynamical Systems with Two Degrees of Freedom», Trans. Amer. Math. Soc., vol. 18, 1917.
Приложения геометрической теоремы Пуанкаре
173
Рассмотрим теперь узкую полоску а2 ^ У ^ а2 +?• При преобразовании ТТ?, нижний край у = а2 этой полоски переходит в верхний, а вся полоска превращается в новую полоску, лежащую целиком над прежней, за исключением их общего края. Повторяя преобразование ТТ?, переводим вторую полоску в третью и т. д.
Продолжая этот процесс, мы получим ряд полос, образующих последовательные слои. Каждый из этих слоев совмещается с самим собой при передвижении на 27т направо. Это следует из того, что оба преобразования Т и Т? однозначны в кольце.
Рис. 2
В кольце эти слои будут изображаться системой замкнутых кольцевых слоев, которые, разумеется, все имеют одинаковую площадь, потому что преобразование ТТ?У сохраняет площадь относительно г, $ так же, как в плоскости (ж, у). Следовательно, какой-нибудь из этих слоев на бесконечной полоске, скажем к-й слой, должен перейти где-нибудь через верхнюю границу у = Ъ2 нашей полоски. Пусть теперь в плоскости (ж, у) Q будет точка верхнего края к-й полоски, для которой у достигает наибольшей величины (рис. 2). Обозначим через Р точку прямой у = а2, которая fc-кратным повторением преобразования ТТ? переводится в Q, и пусть Р', Р", ... , = Q обозначают
образы точки Р при последовательной итерации преобразования ТТ?. Проведем прямолинейный отрезок РР', который будет, разумеется, лежать целиком в первом слое. Последовательные образы этого отрезка Р'Р" ... p(fe-1)p(fe) будут все находиться в соответственных слоях и не будут иметь между собой общих точек, если не считать того, что две последовательные дуги р(г_1)р(®) и р(*)р(г+1) имеют общий конец Р^1\ Таким образом, соединяя эти дуги вместе, получим одну дугу PQ без двойных точек.
Рассмотрим теперь вектор LL', идущий от какой-нибудь точки L к ее образу V при преобразовании ТТ?, и будем двигать начало L вектора от Р к Р^-1) вдоль линии PQ. Угол, образуемый этим вектором с
174
Глава 6
положительным направлением оси абсцисс, мы можем считать в начале пути (при L = Р) положительным острым углом, так как образ Р' точки Р лежит справа и сверху от самой точки Р. Когда точка L перешла в конечное положение p(fe_1) своего пути, этот угол будет лежать во втором квадранте, потому что, по условиям теоремы и определе-нию Q = лежит слева и сверху от Р^к ^(9).
Из способа построения последовательных дуг РР', Р'Р", ... совершенно очевидно, что когда L движется по кривой PQ от Р к Р^-1) V движется вдоль той же кривой от Р' к Q. Поэтому легко видеть на рис. 2, что вектор LL' при переходе из начального положения РР' к конечному делает поворот на наименьший положительный
угол(10). Если теперь двигать V дальше от Q по вертикальному направлению до встречи с прямой у = Ъ2 +?, то утверждение о вращении вектора на наименьший положительный угол останется справедливым при условии, что е достаточно мало, так как Q лежит самое большее на г над прямой у = 62(п).
Предположим теперь, что L движется любым способом от какой-нибудь точки прямой у = а2 до какой-нибудь точки прямой у = Ь2, оставаясь, конечно, все время на нашей полоске а2 ^ у ^ Ь2. Преобразование ТТ? не имеет инвариантных точек, и, следовательно, точка L, никогда не будет совпадать со своим образом L'. В начальном положении угол, образуемый LL', лежит в первой четверти; в конечном же положении этот угол лежит во второй четверти. Но полное изменение угла при движении L от у = а2 до у = ъ2 оказалось в одном частном случае равным наименьшему возможному положительному углу(12). Следовательно, так как любой путь точки L от у = а2 до у = Ъ2 может быть непрерывно преобразован в любой другой, это изменение будет всегда равно наименьшему положительному углу.
