Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
V Л2 V ^2 откуда в силу непрерывности функции т\
Ъ < хО < / О О /О /Оч 7Г
/ГГ— ^ 1 ^ ТЦЖ0? 2/0 ? Ж0 5 ^0 J угг— •
V Л2 V ^2
Но согласно определению функции ri имеем:
г1(х°,у00,х;0,:С)=г(Ж°,г/00,^0,Уо0)-
Таким образом,
0 < t° < т(х°0, у°0, х'0°, у'0°). (11)
Формулы (9), (10), (11) противоречат, однако, определению функции т. Непрерывность функции г этим доказана.
Определим теперь преобразование Т поверхности S равенствами:
XI = х [ж0, Уо, х'о, у'о, т(ж0, Уо, х'о, Уо)],
Уг = у' [жо, Уо, х'0, у'0, т(жо, Уо, х'0, Уо)].
Так как функции ж, ... , yf и т непрерывны при всех рассматриваемых нами системах аргументов, то и это преобразование непрерывно внутри и на границе поверхности S. Кроме того, из равенства (3) и определения функции г следует, что в любой внутренней точке
382
Примечания редакции
(#о, 2/о> Уо) поверхности S эта функция есть не что иное, как промежуток времени между начальным пересечением поверхности S в этой точке и ближайшим следующим пересечением. Следовательно, во внутренних точках поверхности S преобразование Т совпадает с рассматриваемым в тексте. Этим и доказано, что последнее преобразование может быть непрерывно распространено на границу поверхности S.
Что продолженное таким образом преобразование Т одно-однознач-но — очевидно, так как совершенно аналогичным образом может быть определено непрерывное обратное преобразование.
К главе 6
1) Перевод этой статьи см. стр. 289-304.
2) Это г, которое равно л/р2 + д2, разумеется, не следует смешивать с прежним г, играющим роль угловой координаты.
3) Чтобы доказать строго неравенство
rl^fl (п = 0,1, , k), (1)
где гп — решение дифференциального уравнения
Hr2
~т~ = Lr^д+2, (2)
dn w
определенное при 0 ^ п ^ к и удовлетворяющее начальному условию
—2 2 го = П)>
можно рассуждать следующим образом.
Прежде всего, из уравнения (2) легко усматривается, что г2 > 0 при всяком щ принадлежащем промежутку 0 ^ п ^ к.
Отсюда в силу уравнения (2) следует, что г2 есть возрастающая функция п. Принимая это во внимание, получаем, далее, из того же уравнения:
Л-i
—2 —2 т
rj+i ~rj=L
J r2/+2dx > LfY+2- (3)
3
Допустим теперь, что неравенство (1) доказано при п = j ^ к — 1 и докажем его при п = j + 1.
Согласно доказанному в тексте имеем:
г2 _ 2 < Г 2д+2
j+1 j ^ brj ’
К главе 6
383
откуда в силу индуктивного предположения и неравенства (3)
2 2 / —2 —2
ri+i-ri <ri+i-rr
Еще раз применяя индуктивное предположение, заключаем отсюда, что
2 / 2 гз+1 < rj+1-
А так как неравенство (1) соблюдается при п = 0, то этим оно доказано при всяком интересующем нас п.
4) В самом деле, левая часть равенства
qiPo - Pigo = rg sin(g~ + srg) + poQ - q0P PiPo + Я1Я0 rg cos (a + srg) + q0Q + p0P
есть не что иное, как tg($i — $о)> В силу этого равенства отсюда следует, что
tg(i?i - - а - sr0) =
tg(#i - t?o) - tg(а- + rg) =
l + tg(t?i -t?0)tg(o- + rg)
_ (PoQ ~ qpP) cos(cr + grg) - (q0Q + p0P) sin(<r + srg)
г2 + (PoQ ~ QoP) sin(cr + erg) + (q0Q + PoP) cos(cr + srg)
Полагая здесь p0 = ro cos$o? Qo = ^0 sin$0? усматриваем, что числитель и знаменатель представляются степенными рядами вг0 с коэффициентами — тригонометрическими полиномами относительно $0- При этом ряд для числителя начинается с члена порядка не ниже 2fi + 2, ряд для знаменателя — с 7q. Следовательно, тангенс величины, обозначенной в тексте через $, представляется аналогичным степенным рядом, начинающимся с члена порядка не ниже 2//. То же справедливо поэтому и относительно самой этой величины.
5) Точнее говоря, величина Го > 0 и натуральное число п могут быть выбраны так, чтобы соблюдалось неравенство п ^ NYq2м и величина <дп — $о — пег была сколь угодно большой.
6) Это отнюдь не очевидно. В самом деле, если в решении разностного уравнения
A vn — Вр0 + vn),
удовлетворяющем начальным условиям
Vq = 0, Дг?о = s + ?3,
384
Примечания редакции
vn и Avn не больше соответствующих vn и Avn в рассматриваемом решении разностного уравнении (9) (см. текст) при некотором значении п, то оценки (10) отнюдь не гарантируют того, что и при непосредственно следующем значении п это будет иметь место. Поэтому все последующее рассуждение непригодно для доказательства леммы. Эту ошибку, к счастью, легко исправить.
Рассмотрим уравнение (9), где е5 и е6 могут быть произвольными функциями п, удовлетворяющими неравенствам (10). Из вида этого уравнения непосредственно следует, что в его решении, удовлетворяющем начальным условиям (11), vn и Avn могут быть представлены как зависящие от п полиномы в s+ej], 6Г5(0),... , е$(п—1), ?б(0)? • • * ? ?б(^—1) с положительными коэффициентами. Эти полиномы могут только возрасти, если мы заменим ?${к) и ее(к) их максимальным допустимым значением Вр^~г. Но тогда мы получим решение разностного уравнения
A2Vn=Bp%~1(AVn + Vn),
удовлетворяющее тем же начальным условиям. Таким образом, для интересующего нас решения уравнения (9) имеем:
Vn < vn (п < ЛГ/v'*).
А так как при vn ^ 0 и Avn ^ 0 имеем
A2vn ^ -Bp^~1(Avn + vn) = —BpQ~1vn+i, то при тех же условиях
A2vn > -Bp»~lVn+l (п + 1 < ЛГр-"), откуда в силу начальных условий:
