Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Р — произвольная точка множества S, е — произвольное положительное число. Согласно предположению кривая движения, проходящая через Р, не может быть замкнута, так как иначе множество S состояло бы только из этой кривой. Следовательно, при ф t2 имеем Ptl ф Pt2. Кроме того, согласно сказанному (см. 2-й абзац §7) каждая точка Pt является ^-предельной для рассматриваемой кривой движения.
В частности, сама точка Р = Р0 является ^-предельной. Следовательно, существует t\ > 1, такое, что р(Ро, Р^) < гДе р(^> У)
означает расстояние между точками X и Y. Так как t\ > 1, то точка Ptl не принадлежит дуге P_iPi рассматриваемой кривой и потому находится от последней на положительном расстоянии ei, Так
как р(Р0, Ptl) < у, то, разумеется, ei < у.
Точка Ptl является ^-предельной. Следовательно, существует t2 > > t\ + 1 такое, что
p(Ptl,Pt2) < у-
Точка Pt2 не принадлежит дуге Р-^Р^ и потому находится от последней на положительном расстоянии е2 причем е2 < так как
P(ptl,pt2)<
Продолжая этот процесс, получаем две последовательности: ?0 = О? ?i, t2, ... и ?i, е2, ..., удовлетворяющие условиям:
1) ^n+i ^ “Ь 1 (п = 0, 1, 2, ...),
2)0 <sn+1<S-f (п = 0,1,2,...),
3)p(Pt„,PiB+1) < у (п = 0,1,2,...),
4) p{Ptn+1, P-tnPtn) - Sn+i (n — 0, 1, 2, ...),
398
Примечания редакции
где р(Х, А) означает расстояние между точкой X и множеством А, а п принимает значения 0, 1, 2, ...
В силу условий (2) и (3) последовательность точек Ptoy Pfl, Р<2, ... сходится к некоторой точке Q, причем р(Р, Q) < ?0- В силу условия (1) эта точка является ^-предельной для движения Pt и потому принадлежит Е. В силу условий (2) и (3) имеем
p{Ptn+14 Q) < ^n+ъ
откуда, согласно (4), следует, что Q не принадлежит никакой дуге P_tnPtn. Этим доказано, что для любой точки Р множества Е и любого во > 0 существует точка Q этого же множества, отстоящая от Р менее, чем на во > 0, и не лежащая на кривой движения, проходящей через Р.
Теперь остается доказать, что Е состоит из неисчислимого множества кривых движения. Мы сейчас докажем даже, что множество кривых движения, содержащихся в Е, имеет мощность континуума (см. статью Биркгофа «Queiques theoremes sur les mouvements des systemes dynamiques», Bull. Soc. Math. France, т. 40, 1912).
Для этого мы рассмотрим (п — 1)-мерную площадку, пересекающую кривую движения, проходящую через точку Р в этой самой точке. Если эту площадку взять достаточно малой, то все кривые движения, содержащиеся в Е, будут пересекать ее в одном направлении. Мы возьмем ее гомеоморфной (п — 1)-мерному евклидову пространству. Тогда, согласно уже доказанному, пересечение площадки с множеством Е будет совершенным множеством относительно площадки.
Отсюда, как известно, следует, что это пересечение имеет мощность континуума. С другой стороны, каждая кривая движения имеет с рассматриваемой площадкой не более чем исчислимое множество общих точек. Из всего этого следует, что содержащиеся в Е кривые движения образуют множество мощности континуума.
К главе 8
1) Напомним, что в проблеме обобщенного равновесия множители Л определены с точностью до целых кратных 2пл/^1/т (т. е. в данном случае до целых, кратных \/^Т). Так как мы имеем теперь только два множителя Л, —Л, и так как Л* тоже будет множителем, то Л* должно
К главе 8
399
отличаться на целое, кратное у/—1, либо от —Л, либо от Л. Первый случай приводит нас к движению устойчивого типа, во втором же мнимая часть Л будет кратной \/“~1/2, и, следовательно, мы можем считать ее равной либо нулю, либо д/—Т/2.
2) В цитированном на стр. 215 мемуаре автор показывает, что формальные вещественные разложения инвариантных кривых, получаемые из уравнения Q = 0, всегда определяют некоторые инвариантные кривые на плоскости (и, г?); эти кривые имеют аналитический характер в окрестности точки (0, 0), которая вообще является для них существенной особой точкой. Случай, отмеченный в скобках, имеет место тогда, когда инвариантная кривая есть геометрическое место инвариантных точек.
3) Автор имеет в виду тот случай, когда преобразование Т формальным преобразованием приводится к виду:
щ = щ cos сг — Vo sin сг, vi = щ sin сг + vq cos сг.
4) Дальнейшие результаты в этом направлении получены в мемуаре G.D.Birkhoff and D. С. Lewis «On the Periodic Motions Near a Given Periodic Motion of a Dynamical System», «Annali di Mat.» (4), т. 12 (1933), стр. 117-133.
5) Имеются в виду случаи формул (3) с заменой и\ и v\ на ип и vn при положительном или отрицательном /i.
6) Существованию зон неустойчивости посвящена статья Биркго-фа «О существовании областей неустойчивости в динамике» (перевод включен в эту книгу).
7) «Предельное замкнутое множество» в тексте следует заменить точным понятием верхнего топологического предела замкнутых областей сгп, содержащихся в 5, когда сг неограниченно уменьшается по диаметру (следовательно, п неограниченно возрастает). Верхний топологический предел множеств Fi, F2j ... , Fn, ... есть совокупность точек, любая окрестность которых содержит точки бесконечного числа множеств Fi, F2? • • •
