Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
lira ^ = lim /(z, j/) = /(ж, 0) ф О,
t—УОО (J, Ъ t—У'ОС
что несовместимо со стремлением у к нулю.
2) Все это вовсе не столь очевидно.
3) Такие слова обычно означают у Биркгофа привлечение геометрической интуиции.
4) В полноте этого перечня есть основания сомневаться.
К главе 5
375
5) Здесь Биркгоф упускает из виду тот случай, когда никакой самой внешней замкнутой кривой нет и в то же время существуют точки, лежащие вне всяких замкнутых кривых. Этот случай осуществляется, например, при
f(x, у) = х(у2 - 1).
Кривые движения образуют здесь семейство, определяемое уравнением
у2 = 1 + сех2 (с^-1), (1)
где с — параметр семейства. При этом, когда с ^ 0, равенство (1) определяет не одну, а две кривых движения, одна из которых лежит выше, другая ниже оси абсцисс. При с = — 1 кривая вырождается в точку (начало координат). При — 1 < с < 0 имеем замкнутую кривую вокруг начала координат. При с —> 0 эта кривая вытягивается в бесконечность в направлении оси х и при с = 0 переходит в две параллельные прямые у = ±1. Движения по ним, очевидно, двусторонне неустойчивы. Прямые эти лежат вне всех замкнутых кривых, среди которых нет никакой самой внешней.
6) Этим Биркгоф хочет лишь сказать, что на многообразии М должны существовать замкнутые кривые, не сводящиеся в точку непрерывной деформацией.
7) Имеется в виду несводимость в точку посредством непрерывных деформаций, при которых деформируемый путь все время остается инвариантным относительно преобразования. — Прим. перев.
8) Имеется в виду эквивалентность относительно тех же деформаций. — Прим. перев.
9) Определение кратного периодического движения дано ниже, в § 9.
10) Здесь и в дальнейшем имеет силу следующая, вовсе не очевидная теорема.
Если / есть непрерывное отображение га-мерной гиперсферы Sm в самое себя, получаемое из тождественного отображении посредством непрерывного изменения, то f(Sm) = Sт.
Простое доказательство читатель найдет, например, в XI главе книги Г. Зейферта и В. Трельфалля «Топология», ГОНТИ, 1938.
11) См. предыдущее примечание.
12) Несколько детализируя приведенную схему доказательства, нетрудно усмотреть, что ссылка на теорему Осгуда является совершенно излишней.
В самом деле, допустим, что при первом шаге длина замкнутой кривой убывает меньше чем на е. Тогда каждая из геодезических
376
Примечания редакции
дуг PiPi+i короче прежней дуги Р{Р{+1 меньше, чем на ?, и, следовательно, длины всех геодезических дуг различаются между собою меньше, чем на е. Следовательно, Q2 будет отстоять от середины геодезической дуги Р2Рз меньше, чем на ?, Q% — от середины дуги Р3Р4 меньше, чем на 2г и т. д. Вообще любое Qi будет отстоять от середины дуги Pi Pi-1-1 меньше, чем на пе. Отсюда следует, что геодезические
дуги Qi-iPi и PiQi будут иметь каждая длину, большую, чем ^ — П?, что при достаточно малом е больше, чем Следовательно, если угол
«j Т1
между этими дугами больше 5, то их сумма превосходит длину геодезической Qi-iQi на величину, большую некоторой положительной постоянной, зависящей только от d, n, S и поверхности М. Отсюда вытекает утверждение леммы.
13) Все это по меньшей мере неточно. В действительности из общей теории линейных преобразований (см., например, М. Бохер. Введение в высшую алгебру. ГТТИ, 1933, гл. 21) следует, что в рассматриваемом случае можно так преобразовать координаты, чтобы уравнения вариации приняли один из видов:
I.
dyi _ Л dy2 _
~Ж~Х1Уи ~dt-yi + Xiy2’
~ Хп dt ~КУг
(* = 3,
dzi
dt
. dz2 .
= -X1Z1, — = zi - Ai22,
dzj
dt
= —XiZi
= 3.
, m),
. , m).
II.
III. Для у то же, что в случае I; для z то же, что в случае II.
IV. Для у то же, что в случае II; для z то же, что в случае I. Рассмотрим случай I, который, по-видимому, только и имеет в виду
Биркгоф.
Как и в случае отсутствия кратных множителей, проблема сводится к рассмотрению определителя
D =
2/l(27г) - 1
Ут№) z{{ 2тг)
4г(27г)
у*т{ 2тг)
У2тт№)
zlm(2n)
4™(2тг)-1
К главе 5
377
где
есть решение уравнений вариации, удовлетворяющее начальным условиям:
В силу этих начальных условий при г = 1, 2 получаем, соответственно, решения:
Отсюда, как и при отсутствии кратных множителей, получаем:
если ни один из множителей Л j не является целым кратным \/~Т*
Совершенно аналогичным образом рассматриваются другие случаи.
14) В действительности так определенная функция (р может вовсе не быть аналитической на самой поверхности 5, так как даже ее полная производная по t может терпеть разрыв при пересечении этой поверхности.
15) В действительности из сделанных предположений вытекает лишь, что Л > 0 при z ф 0 и что Л — аналитическая функция. Условие положительности Л и при z = 0 является независимим допущением, существенным для дальнейшего (см. следующее примечание).
у){0) = % z)i0) =0 при г = 1, ... , т;
у){0) = 0, z*j(0) = Si-m!j при г = то + 1, ... , 2т.
Аналогичным образом при г = т + 1, т Н- 2 имеем:
Наконец, для остальных значений г имеем:
у) = SijeXi\ z) = 0
yj = 0? Zj = $i—rn,j&
(i = 3, ... , m);
“Ai< (i = m + 3, ... , 2m).
7П
j=i
378
