Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Примечания редакции
16) Во всем этом можно убедиться следующим образом.
Обозначим через Ai и А2 минимум и максимум функции А в ограниченной области U ^ 0. В силу условия положительности А (см. предыдущее примечание) имеем 0 < Ai <С А2. Предполагая, что z и z' не обращаются в нуль одновременно, определим вспомогательные переменные ri, r2, </?i, ip2 соотношениями
Принимая во внимание, что координата z обращается в нуль тогда и только тогда, когда (fi = птг, заключаем отсюда, что обращение z в нуль имеет место не менее, чем однажды, в течение всякого промежут-
всякого промежутка времени, меньшего, чем —^=, если только z не
Л/А2
равно нулю тождественно.
17) Соображения, предшествующие этому утверждению, содержат лишь некоторый намек на его доказательство. Само же доказательство можно вести следующим образом.
Будем рассматривать решение наших дифференциальных уравнений в зависимости от начального положения точки на секущей поверхности. Величины ж, у, z, ж', у', zf являются в этом решении функциями от жо, 2/о? ?(ь 2/си zo и ^ причем первые пять аргументов связаны между собою уравнением энергии
из которого в силу условия zf0 ^ 0 величина zf0 определяется как однозначная непрерывная функция жо, уо, xf0, у'0, аналитическая при zf0 >0. Таким образом, имеем:
л/Xiz = Г{ sin (pi, z' = riCOS(fi, п > 0 (г = 1, 2). В силу дифференциального уравнения
имеем
откуда
ка времени, большего, чем _________ и не более, чем однажды, в течение
л/Al
^ К2 + 2/о2 + zo2) + U (ж(), у'0, 0) — 0,
ж = ж(ж0, г/о, Жц, г/о, *),..., z' = ^'(жо, 2/о, 2/о? *)•
К главе 5
379
Определим еще функцию С(жси 2/сь Уо? ?) дифференциальным
уравнением
+ А(ж, у, г)С = 0 (1)
(содержащим Хо, Уо, 2/о в качестве параметров) и начальными условиями
Со = 0, Со = 1. (2)
Так как z удовлятворяет тому же дифференциальному уравнению и начальному условию z — 0, то для внутренних точек (ж0, уо, xf0, f/g) поверхности 5 имеем, очевидно,
<=-т- (3)
%
Для точек границы поверхности S правая часть этого равенства теряет смысл, так как и числитель, и знаменатель обращаются в нуль. Тем не менее, уравнение (1), принимающее вид
d2C
-ф + Х(х, у, 0)С = О,
совместно с начальными условиями (2) продолжает и в этом случае определять функцию
Из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий (см. главу I) следует, что функции ж, у, z, ж', у*, zf, ( непрерывно зависят от точ-
дС
ки (ж0, Уог х'о, Уо) поверхности S' и от времени ?, причем — есть непрерывная функция тех же аргументов. При этом в силу начальных условий (2) ?, рассматриваемая при фиксированных ж0, уо, ^о? Уо как функция ty никогда не обращается тождественно в нуль.
Обозначим через т(жо, уо, #о, yfQ) наименьший положительный корень уравнения
с(ж0, Уо, х'0, у'0, t) = 0, (4)
удовлетворяющий условию ^ > 0. Так как рассуждение, проведен-ное в предыдущем примечании, применимо к нашему уравнению (1),
2тг
то такой корень существует и не превосходит ——. Покажем, что т
\Ai
является непрерывной функцией точки секущей поверхности.
380
Примечания редакции
Будем рассматривать произвольную (внутреннюю или граничную) точку (#q, уq, х'0°, у'0°) поверхности S. Так как производная С по ? не-
жительна, то согласно известной теореме о неявных функциях существуют положительные числа ? и 5, такие, что при
причем определяемая отсюда функция т\ непрерывна. Остается показать, что в достаточно малой окрестности точки (#{], Уо? жо°? Уо°) эта функция совпадает с функцией т, для чего достаточно убедиться, что уравнение (4) не имеет положительных корней, меньших т\ и удовле-
этой окрестности.
Допустим вопреки этому, что такие корни могут существовать для точек (ж0, Уо, х'о, Уо), сколь угодно близких к (ж?, у$, х'0°, у'0°). Тогда существует бесконечная последовательность точек (а?о, Уо, х'0г, у'0г) (г = 1,2,...) поверхности S и бесконечная последовательность моментов времени tl (i = 1,2,...) такие, что
Так как т < 7р + ?, то в силу неравенств (б) из последовательности пятерок (жд, Уо? хогу Уог> м°жет быть выбрана подпоследовательность, для которой t% сходятся к некоторому t°. Изменим обозначения таким образом, чтобы эта новая последовательность пятерок была обозначена через (хг0, у$, хг0\ у'0г, tг) (i = 1, 2, ...). Тогда будем иметь условия (5)-(8) и, кроме того,
max [|ж° - ж0|, \у% - 2/о|, К° - х’0\, |^0 - у’0\ < 6
уравнение (4) имеет единственное решение:
t = ri(x0, уо, х’0, Уо),
удовлетворяющее условию
11 - т°| < е,
творяющих условию ^ > 0, когда точка (жо, уо, х'0, у'0) принадлежит
(5)
(6)
(7)
lim (хг0, уг0, х'01, уд1) = (ж0, у0, х'0, у'0)
(8)
lim t{ = t°.
t—>CQ
К главе 5
381
/71
В силу непрерывности функций ( и — отсюда следует, что
а 4°.<°>=о.'
> о. (9)
dt / fmQ
Но одновременное обращение в нуль функций ? и ^ невозможно,
так как иначе функция ((жо? Уо, Жд0, t/q0, ?) переменной t обращалась бы тождественно в нуль в силу уравнения (1), что, как уже было отмечено, невозможно. Следовательно,
ft) > °- (10)
С другой стороны, согласно предыдущему примечанию условия (5) и (6) дают:
