Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
р = СД cos[4c^(t + fe)], q — с^ sin[4c^(t + fe)],
где с — постоянная энергии, k — другая постоянная интегрирования.
Это решение при с > 0 периодично с периодом —. Дифференциро-
2с Ь
вание по параметрам к и с дает при к = 0 два независимых решения уравнений вариации:
Р = — sin(4c/2?), Р = —tsin(4c^2t) + \с~ cos(4c^t),
о
Q = cos(4c^t), Q = t cos(4clyW) + \c~ ^ sin(4c^t).
о
Из них только первое периодично. Второго, независимого периодического решения уравнений вариации здесь не существует.
368
Примечания редакции
7) Существование такой системы координат Биркгоф, по-види-мому, считает очевидным. В действительности же путь к ее построению длинен и кропотлив.
8) Это следует из того, что при вещественных Х\у ... , Х2Ш значения переменных pj и qj суть сопряженные комплексные числа.
9) Более понятным образом это доказывается так. При комплекс-
ных сопряженных парах начальных значений pj и qj эти пары значений все время должны оставаться сопряженными комплексными, так как тогда начальные значения переменных х\, ... , х2— вещественны, и силу чего эти переменные все время вещественны. Отсюда следует, что при комплексных сопряженных парах (pj, qj) правые части уравнений (1) главы IV будут комплексными сопряженными. Принимая во внимание порядок малости членов и М^8+1, заключаем отсюда,
что дН/дтт{ есть величина, сопряженная с —дН/дп^ т. е. чисто мнимая. А так как Н — 0 при 7г* = 0 (г = 1, ... , га), то и Н — чисто мнимое.
10) В самом деле, с помощью методов главы III мы убеждаемся в возможности полной нормализации уравнений (1) главы IV посредством формального преобразования
Pi =Pi +Fi,s+i(j>, Q,t), qi = qi + Gi.s+1(p,q,t) (i, = l,...,m),
где -Fi,e+1 и Gi,s+i — формальные степенные ряды в р1? ... , gm, начинающиеся с членов порядка не ниже s + 1, причем формальный степенной ряд для гамильтоновой функции Н(р, q) будет начинаться с многочлена
тп
Н(р. q) = ^2 bjPjfij + Нг (р, q) + ... + Hj(p, q). (1)
3 =1
Согласно § 8 главы III нормализованные уравнения будут иметь общее формальное решение:
Pi = Р°е-^-г°\ (i = 1, ... , т),
где
по=о^
/ г ? 1 '
(2)
К главе 4
369
Этому формальному решению соответствует формальное решение уравнений (1) главы IV вида
Pi = +FjjS+it),
Qi = 90e7,:(i-<o) +G. s+l(pOe-%.(<-to)? t).
В силу (1) и (2) оно может быть представлено под видом
Pi =p?e-7i(t-to) +Fls+1(p°j, q?, t),
4i = + G'jS+1(^, Qj, t),
где F- e+1 и G\ e+1 — формальные степенные ряды в р° и q° с зависящими от t коэффициентами, не содержащие членов степени ниже s +1.
Возвращаясь теперь к переменным х\, ... , Ж2т, получаем общее формальное решение вида
Xi = фi(p°je-'l^t-to), g9e^(i-*o), t) + $-,,+i(p“, q°j, t),
где Ф?(р^, qj, t) — сходящиеся ряды, осуществляющие преобразование от х к р и q\ Фг,^+1 — формальные ряды в р®, q®, не содержащие членов порядка ниже s + 1 в этих переменных.
11) Перевод точен. Смысл термина «начальные значения произвольных постоянных» не ясен редакции.
12) Здесь выясняется, что термин «формальное общее решение» («General Formal Solution») не имеет у Биркгофа единого ясного смысла. В самом деле, если «формальное общее решение»^ = pje_7i*, qi = q^e1^ нормализованных уравнений расшифровать в согласии с определением, сформулированным Биркгофом в § 3 главы III, то коэффициенты формальных рядов для координат Х{ будут, вообще говоря, не «тригонометрическими суммами», а произведениями показательных функций eAi*, e~Xit на целые рациональные функции t (сравните примечание 12 к главе III). Следовательно, термин «формальное общее решение» применяется Биркгофом в каком-то другом, не определенном им смысле.
К счастью, самая существенная часть утверждения, приведенного курсивом в § 2 главы IV, оказывается верной. А именно, координаты #i, ... , хт действительно представимы тригонометрическими суммами указанного вида с точностью до величин порядка «q+1 в течение
промежутка времени порядка ^ . Этот результат непосредственно
370
Примечания редакции
следует из проведенного в §2 рассмотрения решений системы (1), и он совершенно независим от каких бы то ни было «формальных общих решений».
13) Здесь d и D — положительные постоянные.
14) Эти ряды связаны друг с другом соотношениями
P*{qi, ... ,qm,Pi, ¦¦¦ ,Рт)= ^
= ¦ ¦ ¦ 1 4mi Pit • • • t Ртп) (* = 1; ¦ • • 5
где F*(z\, • • • ? zm) означает степенной ряд, получаемый из ряда F(zi, ... , zm) путем замены коэффициентов сопряженными комплексными величинами.
В самом деле, уравнения
dpi _ л , ,у dqi __ . „ ,._ ч
^ — ^iPi + Pi-, ^ — ^iQi Cgi — 1, . . . , ш)
таковы, что коль скоро начальные значения всех пар (pi, qi) суть сопряженные комплексные числа, то при всяком вещественном t каждое ^ будет сопряженным с соответствующим р^. Отсюда непосредственно следует, что при q{ = р* (i = 1, ... , га) имеем:
Qj(P, Г, t) = [Pj(p, q; ?)]*,
и потому
Qj(p, t) = pj(Pi t).
Но справедлива следующая лемма: если аналитическая функция Р{р 1, ... ,pm, qi, , qm)
обращается в нуль, коль скоро qi = р* (г = 1, ... , га), то она тождест-
венно равна нулю. Из этой леммы непосредственно следует на основании только что сказанного, что равенство (1) всегда соблюдается.
