Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 133

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 147 >> Следующая

10) При этом новая гамильтонова функция будет отличаться от старой множителем л/^1.
11) Линейное преобразование, приводящее Н2 к такому виду, в общем случае, — когда присутствуют и вещественные и чисто мнимые и комплексные множители А, — не обязательно будет иметь специальный вид, рассмотренный в § 4. Точнее говоря, при этом преобразовании вещественным системам значений исходных переменных не обязательно будут соответствовать системы значений новых переменных, такие, что переменные, соответствующие комплексным сопряженным А, будут иметь комплексные сопряженные значения.
12) Встречающиеся здесь выражения eJit и где 7{ — фор-
мальные степенные ряды в ai, ... ,/Зш, нуждаются в расшифровке. Им можно придать следующий смысл. Обозначим через 7^ полином в ai, ... , (Зт, получаемый из формального ряда 7*, путем отбрасывания членов порядка выше к. Тогда elikt и e~likt представимы как сходящиеся степенные ряды в щ, ... , /?ш, с коэффициентами, зависящими от t. Нетрудно видеть, что при к —У оо коэффициент в elikt при любом фиксированном произведении степеней ai, ... , (Зш в конце концов перестает меняться в зависимости от к. В этом смысле зависящий от к степенной ряд для elikt формально сходится при к —» оо к некоторому формальному степенному ряду. Этот последний и обозначается через eJit. Аналогичным образом определяется e~Jit.
Нетрудно видеть, что при такой расшифровке выражений ellt и e~llt равенства pi = с^е-7^, qi = /3*e7i< действительно определяют общее формальное решение нормализованных уравнений Гамильтона в смысле § 3 с точностью до условия вещественности, которое, разумеется, может не соблюдаться. Роль постоянных ci, ... , сп играют при этом «1, ... , /Зш. Коэффициенты формальных степенных рядов, фигурирующих в этом формальном решении, как нетрудно усмотреть, представляются как произведения показательных функций e~Xit или соответственно eXit на целые рациональные функции t.
К сожалению, из текста главы IV выясняется, что Биркгоф придает выражениям elil и e~lil какой-то иной, не ясный для редакции смысл,
К главе 3
363
отступая от своего собственного определении общего формального решения, данного в § 3 главы III.
13) Возможность группировки множителей в пары вида (Л, —Л) доказывается, далее, для более общего случая пфаффовых систем в примечании 24 к главе III. Что же касается вещественности или чистой мнимости множителей, то, как и для случая обыкновенного равновесия, утверждение Биркгофа ошибочно.
14) Как будет доказано в главе IV, обобщенная точка равновесия «общего типа» не может соответствовать периодическому движению гамильтоновой системы с главной функцией, не зависящей явно от ?, если исключить случай покоя, при котором мы имеем обыкновенное равновесие.
15) Сравните аналогичное рассуждение в § 5 этой главы.
16) Приведенное Биркгофом доказательство этого утверждения относится лишь к случаю отсутствия кратных «множителей». Утверждение справедливо, однако, во всех случаях, что может быть доказано следующим образом.
Обозначим через А, В и у соответственно матрицы
dXj dXj i,j=l, ... , 2m d2z i,j=1, ... , 2m yi
dxj dxi x=0 dxidxj x=0 У2т
Тогда уравнения вариации могут быть записаны под видом
Но так как согласно предположению существует матрица А-1, обратная матрице А, то это матричное уравнение равносильно следующему:
dy dt
Отсюда следует, что «множители» являются корнями уравнения
det(А-1 В - ХЕ) = О,
где через Е обозначена единичная матрица и det М означает определитель матрицы М. Принимая, далее, во внимание, что det А ф 0, заключаем, что последнее уравнение равносильно следующему:
det (В - АЛ) = 0.
364
Примечания редакции
Наше утверждение будет доказано, если нам удастся показать, что левая часть последнего уравнения есть четная функция Л.
Чтобы убедиться в последнем, заметим, что Ат = —Ау Вт = В, где Мт означает транспонированную (отраженную от главной диагонали) матрицу М. В силу этого имеем:
det(?? + ХА) = det(?? + ХА)Т = det(I?r + ХАТ) = det(i? — АЛ),
что и требуется доказать.
17) Как мы знаем (см. примечание 6 к этой главе), последнее утверждение ошибочно уже в частном случае гамильтоновой проблемы.
18) В этом случае выражения Cj — dj вещественны. В самом деле, старые переменные Ж1,...,Ж2Ш связаны с новыми pi, ...,рт, #ъ ••• ? Qm вещественным линейным преобразованием:
тп
xi = ^2(eikPk + fikQk) (г = 1, — , 2га),
k=l
и, как нетрудно видеть,
2 m 2m
cj = У ] ttik^kj fij 5 dj = У ] fkj i
г, h—1 i, h—1
где an* — коэффициент при хь в Xi — также вещественный (ср. примечание 7 к главе III).
19) Доказательство, как в примечании 9 к главе III.
20) При этом
тп
5> - di)pi dqi
i—1
перейдет в
тп
г—1
От множителя л/^1 мы можем освободиться путем деления на него функции Z. При этом, разумеется, надо предполагать, что все пары (р*, qi) являются комплексными сопряженными.
21) Последний шаг — исключение коэффициентов Ci—di при pi dqi — всегда может быть осуществлен хотя бы по формулам
Pi = Pi, Qi = (с* - di)qi (i = l, ... ,m).
К главе 3
365
Однако результирующее линейное преобразование при этом, вообще говоря, не будет специального типа, рассмотренного в § 4.
Предыдущая << 1 .. 127 128 129 130 131 132 < 133 > 134 135 136 137 138 139 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed