Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 140

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 147 >> Следующая

п
Avn>8 + e%-Bp%-1Y,vb ("<№),
к=1
если только Avk ^ 0 при к < п.
С другой стороны, разностное уравнение для Vn и начальные условия дают
„0\ е^1П - е@2П
К главе 6
385
причем для определенности мы будем считать, что знак «+» относится к /?i, а знак «—» к /32. Подставляя это выражение в неравенство для Дг>п, получаем:
p/^l p{32
e1®1 —1
A_i
(n^JVpo"),
при условии, что Дг^ ^ О (0 < k < n).
Но из выражений для (3 нетрудно усмотреть, что
Вр'о
м-1
(еЛ _ е/32)(еЛ _
<
Так как, кроме того,
- е&)
О
,/3i
1)
>0,
то последнее неравенство для Avn дает
Avn ^ (s + е°) (l - 7}(e/3in - 1)) (п ^ Npц'1),
если только Avk ^ 0 при 0 < к < п.
Далее при достаточно малых ро имеем, очевидно,
1
(31<2В*Ро2 .
Следовательно, при достаточно малом р$
Avn ^ 0,
коль скоро
/i-1
ra<min[iV*p0 2 . Np() м],
где
N* = ± log 35 2.
Наконец, при достаточно малом р0 последнее неравенство для п может быть заменено простым условием
м-i
п <С N* р 2 .
386
Примечания редакции
При этом условии Avn и vn остаются положительными, если только р0 достаточно мало. Это и есть результат, к которому стремится Биркгоф (см. конец доказательства).
7) См. предыдущее примечание.
8) Это утверждение справедливо для прямоугольника 0 ^ х ^ 27т, а2 < у2 ^ Ь2, так как расстояние точки от ее образа есть непрерывная функция точки. Но, так как точки с абсциссами, различающимися на 27г, передвигаются одинаковым образом, то это утверждение справедливо для всей полоски а2 ^ у ^Ь2. — Прим. перев.
9) Это утверждение справедливо при всяком, достаточно малом ?, так как не только точки прямой у = 62, но и все точки полоски а2 ^ <С у <С 62, достаточно близкие к этой прямой, передвигаются влево при преобразовании Т. — Прим. перев.
10) Докажем это важное утверждение.
Прежде всего введем на дуге рр(к-г) вещественный параметр t следующим образом. При 0 ^ t ^ ^ обозначим через Lt точку прямо-
к — 1
линейного отрезка РР^ с ординатой (к — 1 )et. При
к — 1 к — 1
где s = 1, ... , к — 1, положим
этот последний отрезок числовой прямой, точка Lt описывает дугу PQ, причем согласно определению
Нас интересует угол между вектором LtL и осью абсцисс. Этот
t+—i
угол имеет смысл при всяком t, принадлежащем отрезку 0 ^ t ^ 1, так как Lt ф L х . Величина этого угла определена, однако, лишь с t+k^l
точностью до слагаемого вида 2шг, где п — целое число. Чтобы устранить эту неопределенность, потребуем, чтобы эта величина непрерывно зависела от t и чтобы при t = 0 она лежала между 0 и Так, определенную величину угла обозначим через (p(t). Требуется доказать, что
Lt = (TTS)8L
(TTs)Lt = L
к-1
0 < (f( 1) — (?>(0) < 7Г.
(1)
К главе 6
387
С этой целью будем рассматривать угол между вектором LtL г и
t,+ k^1
осью абсцисс как функцию двух переменных t и ?', которые мы подчиним условиям 0 ^ t ^ t' ^ 1. Так как дуга РР^к~г) не имеет кратных точек, то Lt ф L л , и потому угол этот всегда имеет смысл. На-*'+^Т
лагая на величину этого угла условие непрерывности и подчиняя ее требованию лежать между 0 и ^ при t = tr = 0, получаем непрерывную функцию (p(t, tr) двух аргументов, причем, очевидно,
(2)
Так как точка L0 = Р лежит на прямой у = а2, а точка L
всегда расположена выше этой прямой, то 2п7г < ср(0, tr) < (2п + 1)7г. В силу непрерывности функции ср(0, t*) следует, что
О < <р(0, t) < 7г (0 ^ t ^ 1). (3)
Так как точка L г = Q лежит выше прямой у = 62, а точка Lt
1+ к-1
всегда расположена не выше этой прямой, то 2п7г < cp(t, 1) < (2п + 1)7г. В силу непрерывности функции cp(t, 1) и неравенств (3) следует, что
О < ip(t, 1) < 7г (0 ^ t ^ 1). (4)
Принимая во внимание, что согласно доказанному в тексте
^2П + 7Г < (р( 1, 1) < (2П + 1)7Г,
заключаем из неравенства (4), что
| < V(l> 1) < 7Г,
откуда согласно равенству (2) вытекают доказываемые неравенства (1). — Прим. перев.
11) В действительности малость е не играет здесь никакой роли, так как при этом дополнительном движении вектора он, очевидно, не может выйти из второго квадранта, как бы велико ни было е. Малость е существенна лишь для того, чтобы вектор P^k~l^Q лежал во втором квадранте (см. примечание 10).
388
Примечания редакции
12) То есть это изменение лежит между 0 и 2тг.
13) При этом мы пользуемся тем, что при е —> 0 направление вектора LL' стемится к некоторому предельному направлению, так как преобразование Т также не имеет инвариантных точек.
14) Преобразование Т называется инволюторным, если оно совпадает со своим обратным преобразованием, т. е. если Т2 есть тождественное преобразование.
15) Этот угол, а также аналогичные углы ip* и (р\ считаются всегда положительными. Однако при определении преобразования Т (см. ниже) считается, что геодезическая линия f пересекает геодезическую линию g в одном направлении, например, справа налево, тогда как при определении преобразования Т* рассматривается случай пересечения в обратном направлении — слева направо.
16) Под «прямыми преобразованиями» Биркгоф понимает преобразования, сохраняющие ориентацию.
17) При этом подразумевается, что спираль идет вдоль g в положительном направлении.
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed