Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
18) Имеется в виду алгебраическая длина этой дуги. Подразумевается, что спираль идет вдоль g в отрицательном направлении.
19) В действительности из приведенного в тексте рассуждения следует лишь, что произведение ТТ* передвигает в противоположных направлениях точки границ кольца R.
20) Т = Т*, благодаря симметрии поверхности. — Прим. перев.
К главе 7
1) Это следует из того, что инвариантный n-мерный интеграл классической динамики положителен.
2) Свойство «региональной рекуррентности», о котором говорит здесь Биркгоф, можно определить так. Для всякого непустого открытого множества а и всякого вещественного числа найдется вещественное число t ^ ti такое, что сг и сг* имеют общие точки.
Если при этом речь идет не о всем многообразии М, а о некотором, содержащемся в М множестве А, состоящем из кривых движения, то под «открытым множеством» здесь надо понимать множество, открытое относительно А, т. е. пересечение открытого множества многообразия М с множеством А.
К главе 1
389
3) Связность этого множества в дальнейшем не играет никакой роли. Условие связности могло бы быть здесь опущено без изменения объема определяемых далее понятий.
4) Во избежание недоразумений формулируем точное определение блуждающих и неблуждающих точек, относящееся ко всем случаям.
Точка Р0 называется блуждающей, если существует открытое множество сг0 и вещественное число ti, такие, что сг0 содержит Р0 и что at не имеет общих точек с <tq при всяких t > t\. В противном случае точка Pq называется неблуждающей.
5) Выражение «бесконечно малая окрестность» (infinitesimal neighborhood), не имеющее определенного смысла, следует здесь понимать просто как «достаточно малая окрестность».
6) Существование такой трубки не очевидно.
7) Последнее надо понимать просто так: Mi есть дополнительное замкнутое множество, также состоящее из кривых движения.
8) Имеется в виду открытое множество сг, содержащее точку Р и такое, что at не имеет общих точек с а при всяком, достаточно большом t.
9) Трудно понять эту фразу. Чтобы доказать, что М[ состоит из кривых движения, можно рассуждать так.
Рассмотрим произвольную точку Р множества М\ — М[. Она является предельной точкой множества W. Поэтому существует последовательность Р1, Р2, ... точек множества W, сходящаяся к Р. По теореме о непрерывной зависимости от начальных условий отсюда следует, что при всяком вещественном t последовательность Р^1, Р2, ... сходится к Pt. Так как точки Р/ также принадлежат W, ибо W состоит из кривых движения, то отсюда следует, что Pt есть предельная точка множества W. А так как Pt принадлежит М\ в силу того, что Р принадлежит Mi, то Pt принадлежит М\ — М[.
Этим доказано, что кривая движения, проходящая через произвольную точку множества М\ — М{, содержится в этом множестве, т. е., что М\ — М[ состоит из кривых движения. Так как М\ также состоит из кривых движения, то М[ состоит из кривых движения, что и требуется доказать.
10) Сомнительно, что М[' всегда является границей М[. Если бы на функции Х{ вместо условия аналитичности было наложено более слабое условие дифференцируемости всякого порядка, то противоречащие примеры строились бы без труда.
С другой стороны, при условии аналитичности редакции неизвестны примеры, когда множество М" непусто и отлично от М.
390
Примечания редакции
11) Как видно из авторского примечания к этой теореме, она формулирована «не вполне точно», т. е., попросту говоря, неправильно. Чтобы придти к правильной формулировке, достаточно заметить, что «точный счет выходов» движущейся точки из окрестности множества Mi совсем не соответствует сути рассматриваемого вопроса, которая состоит в том, что эта точка находится в этой окрестности при всяком t, не принадлежащем некоторым исключительным интервалам. Таким образом мы получаем следующую формулировку.
Для всякой окрестности ? множества М\ существует натуральное число N и положительное число Т, удовлетворяющие условию: каково бы ни было движение системы, можно указать N интервалов длины Т таких, что при t, не принадлежащем ни одному из них, движущаяся точка принадлежит ?.
Нетрудно видеть, что именно то и вытекает из приведенного в тексте рассуждения.
12) Как видно из предыдущей теоремы, множество М\ не пустое. — Прим. перев.
13) См. примечание 4.
14) Относительно числа выходов точки из окрестности множества Мр.|_! дело обстоит, разумеется, так же, как при р = 0 (см. примечание 11).
15) Здесь подразумевается следующее. В Мг существует движение, удовлетворяющее условию: при всяком вещественном г найдутся числа ti и ?2 такие, что t\ < г < ?2 и что и при ? = ?]_, и при t = t2 точка Pt принадлежит рассматриваемой окрестности точки множества Мг.
16) Формулируем точное определение. Вероятность того, что в течение промежутка времени [?i, t2\ точка Pt лежит в области ?, есть отношение
mes(A[ti, t2])
i^Ti ’
где А — множество всех вещественных t, при которых Pt лежит в Е, и mesX означает лебегову меру множества X.
Так как множество ? открыто и Pt непрерывно зависит от t, то множество А открыто, и потому числитель в выражении для вероятности существует.
