Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
что справедливо, таким образом, при всяком ?, принадлежащем А. Сопоставляя неравенства (3) и (5), применяя лемму 2 и принимая
что, таким образом, верно, какова бы ни была точка Р и каковы бы ни были числа ti и i2, удовлетворяющие условию (2). Этим утверждение (а) доказано.
Доказательство утверждения (/3). Допустим, что теорема справедлива при всяком р, меньшем предельного порядкового числа <7, и возьмем произвольную окрестность S множества Mq. Множества Мр — S (р < q) образуют убывающую последовательность. Они замкнуты, и пересечение их есть Мр — S, т. е. пустое множество. Так как пространство М, в котором все эти множества содержатся, есть замкнутое многообразие, то существует р < </, такое, что Мр — S есть пустое множество.
С другой стороны, t + т принадлежит отрезку t — t + , так
Принимая во внимание неравенство (4), получаем отсюда
(
(5)
По определению множества В это даст
W(Р, S, t2) ^ 1 —
К главе 1
395
Для этого р множество ? является окрестностью Мр. Следовательно, согласно допущению существует L ^ 0, такое, что
W{P, S, ti, t2)^l-s
для всякой точки Р и всяких чисел t\ и ?2? удовлетворяющих условию (2). Этим доказано утверждение (/?).
Нам остается теперь доказать леммы 1 и 2.
Доказательство леммы 1. Вопреки лемме, допустим, что, какова бы ни была окрестность а точки Р, существует число т, не превышающее Т по абсолютной величине и такое, что <тг, пересекается с обоими множествами F{ (г = 1, 2). Тогда существует сходящаяся к точке Р последовательность окрестностей ст1, ст2, ... и последовательность чисел т1, г2, ..., не превышающих Т по абсолютной величине, такие, что а™п пересекается с обоими при п = 1, 2, ... Мы можем поэтому при всяком п взять точки Qn'% (г = 1, 2) соответственно из множеств <T™nFi. Положим Рп г = Q^n. Тогда Рп г принадлежит ап, и потому обе последовательности Р1’1, Р21, ... и Р12, Р2,2, ... сходятся к Р.
С другой стороны, последовательность т1, г2,... имеет точку сгущения т, так как |rn| ^ Т (п = 1, 2, ...). А так как P™nl = Qn,t, то, следовательно, Рт является точкой сгущения обеих последовательностей Q1,1, Q2,1y ... и Q1,2y Q2'2, ... В силу замкнутости множеств Fi(i = 1, 2) отсюда следует, что точка Рт принадлежит обоим этим множествам, вопреки предположению. Так как к этому противоречию мы пришли в результате допущения неправильности леммы 1, то последняя тем самым доказана.
Доказательство леммы 2. Положим
Г 1 при ж, принадлежащем Р[а, 6], \у\ ^ y(x у) — \
’ (0 в противном случае.
Имеем
оо оо
2cmes(.B[a, 6]) = J J х(х: У) dx dy =
— оо —оо
оо оо оо оо
= J dy j х(у + z, y)dz= J dz J х(У + z, у) dy =
— oo —oo —oo —oo
oo b
= J mes(P[a, b\[z — c, z + c]) dz ^ j mes(P[a, b\[z — c, z + c\) dz.
396
Примечания редакции
Но
mes(В[a, b\[z — с, z + с]) ^
^ mes(B[z — с, z + с]) — max[0, а + с — z\— max[0, с —b + z]. Следовательно,
откуда согласно условию леммы:
2cmes(B[a, b]) ^ 2?cmes(A[a, b]) — с2 ^ 2т](с(Ь — а) — с2,
что и дает доказываемое неравенство.
20) Связность совокупности ^-предельных точек любого движения может быть доказана следующим образом.
Пусть F — рассматриваемая совокупность с^-предельных точек движения точки Р. Допустим, что она не связна. Тогда она представляется как сумма двух непустых замкнутых множеств Fi и F2, не имеющих общих точек. Эти множества находятся на положительном расстоянии е друг от друга. Обозначим через G, совокупность точек, находящихся на расстоянии, меньшем от F{. Тогда G\ 4- G2 есть совокупность
точек, находящихся на расстоянии, меньшем от F. Следовательно,
согласно доказанной в тексте теореме о приближении к с^-предельному множеству существует число г, такое, что при всяком t > т точка Pt принадлежит одной из областей Gi. Она всегда принадлежит не более чем одной из них, так как эти области не имеют общих точек.
Обозначим через А\ совокупность всех t > т таких, что Pi принадлежит Gi. В силу непрерывной зависимости Pt от t множества А\ открыты. Они не имеют общих точек и в сумме дают всю полупрямую t > т. В силу связности последней отсюда следует, что одно из них пусто, а другое совпадает со всей полупрямой t > т. Допустим для определенности, что А2 пусто. Тогда Pt не принадлежит G2 при всяком t > т, и потому точки множества F2, содержащиеся в открытом множестве <У2, не являются ^-предельными точками рассматриваемого движения. Так как F2 не пусто, то это означает противоречие.
Следовательно, множество F связно, что и требуется доказать.
ъ
2cmes(i?[a, b]) mes(B[z — с, z + с]) dz —
а
Ь
j (а 4- с — z) dz — j (с — b + z) dzy
a
b—c
К главе 1
397
21) Так как понятие совершенного множества кривых движения не определено, то фраза эта не имеет смысла. По-видимому, Биркгоф хочет сказать, что в случае, когда минимальное множество Е не состоит из одной замкнутой кривой движения (которая в частности может вырождаться в точку), это множество содержит неисчислимое множество кривых движения, причем в окрестности любой точки любой из этих кривых содержатся точки, принадлежащие другим кривым. Докажем это свойство минимального множества S.
