Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 145

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 .. 147 >> Следующая

8) Автор имеет в виду следующее: если в какой-нибудь точке кривой ее касательная направлена по радиусу, то при дальнейшем движении вдоль дуги касательная может уклониться от радиального направления только в направлении против часовой стрелки.
9) Последний абзац заимствован из мемуара G.D.Birkhoff «Nouvelles recherches sur les systemes dynamiques», «Mem. Pont. Acad. Scient. Novi Lincaei», сер. Ill, т. I, стр. 119. Автор дает новое
400
Примечания редакции
доказательство, которым редакция заменяет прежнее, недостаточное доказательство, приведенное в тексте «Dynamical System».
10) Если две дуги Оа и ОЬ инвариантных кривых, из которых первая соответствует положительно асимптотическим точкам, а вторая — отрицательно асимптотическим, пересекаются в точке М, то точка Mi = Т(М) должна лежать, во-первых, на дуге ОаМ, а во-вторых, на продолженной за М дуге ОЪМ\ таким образом вторая инвариантная кривая необходимо пересекает первую, кроме точки М, еще в точке Мг. Повторяя преобразование Т, мы получим бесчисленное множество точек пересечения обеих кривых на дуге ОаМ; аналогично, применение преобразования Т~г покажет нам бесконечное множество точек пересечения на дуге ОЪМ. Из свойства непрерывности преобразования Т легко усмотреть, что в точке М\ вторая инвариантная кривая при удалении по ней от точки О пересекает первую, переходя с той же ее стороны, как в точке М. Этот факт не осуществим на плоскости; но заметим, что автор заранее ввел условие, что род поверхности S равен единице.
11) Редакции неясно, какую теорему Браувера имеет в виду автор. Известные нам теоремы Браувера о существовании неподвижных точек при преобразовании симплекса непосредственно неприменимы к множеству Е.
12) Это надо понимать в том смысле, что множество точек, лежащих на дугах АВ, В'С, ... всюду плотно во множестве ^-предельных точек.
13) Для аналогичного примера этот факт доказан Хеддуидом [Ргос. Nat. Acad. Soc. U.S.A., т. 19 (1933), стр. 345-348].
Примечания редакции к статье
«Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре»
1) Под прямым преобразованием понимается преобразование, сохраняющее ориентацию.
2) Это захватывание нужно, по-видимому, понимать в следующем смысле. Точка Р, лежащая вне круга С, считается захваченной множеством 5, если в замыкании последнего содержится замкнутое множество F, такое, что Р принадлежит ограниченной компоненте дополнения к F.
К приложениям
401
3) Вместо приведенного в последующем тексте не строгого и по существу сложного доказательства этого факта здесь может быть применено рассуждение, аналогичное приведенному в примечании 10 к главе VI.
Примечания редакции к статье
«О динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре»
1) Оно аффинно с точностью до бесконечно малых второго порядка
относительно р и д. В самом деле, имеем:
рг = ар + bq + F(р, q), qi = cp + dq + G{p, q),
где a, 6, с, d — постоянные, такие, что ad—bc= 1; F и G — сходящиеся степенные ряды в р и не содержащие членов порядка ниже второго.
2) Имеется в виду линейное преобразование
p1=cip + bq,'\ q1= cp + dq j
(см. предыдущее примечание). Может быть определено зависящее от параметра г линейное преобразование
Р*Г = /(r)p + g(r)q, \
* и/ \ ./ ( \ Г (° ^ г ^ 27Г)’ (2
Чг = Кпр + k(r)q )
такое, что /, g, /г, к суть аналитические функции, что f(r)k(r) — g(r)h(r) = 1 (0 ^ г ^ 2тт)
и что
/(0) g(0) 1 0 /(2тг) Я(2?г) а b
Л(0) к( 0) 0 1 1 h( 27г) к(27т) с d
В силу последних равенств преобразование (2) совпадает с тождественным преобразованием при г = 0 и с преобразованием (1) при г = 27г.
402
Примечания редакции
В этом смысле и следует понимать, что последнее преобразование может быть получено посредством одно-однозначной аналитической деформации.
3) Это «наложение» следует понимать просто в смысле алгебраического сложения. Так как
Pi - Pi = F{p, q), q1-q1= G(p, q)
(см. предыдущие примечания), то в результате получается преобразование
Pr = f(r)p + g(r)q + j^F(P, q),
qr = h(r)p + k(r)q + ^G(p, q) (0 ^ r ^ 2n).
4) См. B. de Kerekjarto, The Plane Translation Theorem of Brouwer and the Last Geometric Theorem of Poincare, Szeged Acta, т. 4, кн. 2 (1928), стр. 86-102.
Примечания редакции к статье «Некоторые проблемы динамики»
1) См. главу VI этой книги.
2) Более подробно эта задача рассмотрена в главе VIII этой книги.
3) Более подробно эта задача рассмотрена в главе VI этой книги.
4) Более подробно эта задача рассмотрена в главе VIII этой книги.
5) Задаче трех тел посвящена глава IX этой книги.
6) Под «частицей» здесь следует понимать непустое открытое множество.
7) Теория блуждающих, неблуждающих и центральных движений содержится в главе VII этой книги. Точные определения указаны в примечаниях к этой главе.
8) Теория рекуррентных движений содержится в главе VII этой книги.
К приложениям
403
Примечания редакции к статье
«О существовании областей неустойчивости в динамике»
1) См. статью Биркгофа «О динамической роли последней геомет-рической теоремы Пуанкаре», печатаемую в этой книге.
2) Это следует из того, что элемент площади в этих координатах выражается произведением ^ dp dd.
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed