Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Сама же лемма легко доказывается с помощью преобразования
р{ = щ + qi = щ- л/-1 Vi (г = 1, ... , га),
которое таково, что новые переменные и, v вещественны, когда старые
связаны соотношениями qi = р* (г = 1, ... , га).
К главе 4
371
15) Нетрудно видеть, что если в уравнении
рп + V4 - п-^Ш\ \ ¦ - - П
11 + ^ v J dPj h dqj J 3 ,/A2 dt “
поменять местами каждое pj с соответствующим qj и заменить коэффициенты сопряженными числами, то получится уравнение:
где
Фг2(р, q; t) = <p*i2(q, р; t). (1)
Чтобы в этом убедиться, надо лишь принять во внимание отмеченную в предыдущем примечании связь между рядами Рг и Qi, а также чистую мнимость постоянных Лi.
Отсюда следует, что формы cpi2 и ^2? однозначно определяемые на основании этих уравнений и условий периодичности, связаны соотношением (1). Таким образом, примененное преобразование координат таково, что q{ = р\ (г = 1, ... , га), коль скоро q{ = р* (г = 1, ... , га), т. е. коль скоро х\, ... , х2ш вещественны.
16) И это второе преобразование оказывается таким, что новые pi и qi будут сопряженными комплексными числами при вещественных х\, ... , Х2т- Доказывается это так же, как аналогичное свойство предыдущего преобразования (см. примечание 15 к этой главе).
17) См. предыдущее примечание.
18) Уравнения эти таковы, что qi = р* (г = 1, ... , га) при всяком вещественном ?, коль скоро это имеет место при t = ?о* Отсюда следует, что коэффициенты сц чисто мнимые.
19) М{ суть степенные ряды с чисто мнимыми коэффициентами, что усматривается шаг за шагом таким же образом, как, в частности, мнимость коэффициентов Cij (см. предыдущее примечание).
20) В самом деле, если имеем последовательность полиномов Pi(t) (г = 1,2,...) степени, не превосходящей п, сходящуюся в n + 1 различных точках ?i, ... , tn+1, то, полагая
a,j = lim Pi(tj) (j = 1, , n + 1).
г^оо
372
Примечания редакции
согласно интерполяционной формуле Лагранжа находим:
при —оо < t < оо, откуда
1* р п\ _ (? ti) ... (t tn-\-1)
. nn iU - Z. ai {tj _ tl)... (t. _ t ,_l)(t. _ t ,+l)... {tj _ tn+l) •
Таким образом, предел последовательности полиномов Pi в этом случае также является полиномом степени, не превосходящей п.
21) Согласно обычному определению система называется обратимой, если она переходит сама в себя при замене t на —t.
22) Выражение в прямых скобках является степенным рядом в произведениях Но из формул (9) главы IV следует, что каждое такое произведение является степенным рядом в произведениях ^7^ без постоянного члена. Следовательно, выражение в прямых скобках и U i, являются степенными рядами в ? (j = 1, ... , ш). При этом постоянный член ряда для U i, равен постоянному члену выражения f разложенного по степеням а этот последний в силу равенства fihi = 1 совпадает с постоянным членом Uт. е. равен А*. Аналогичным образом обстоит вопрос с выражениями V
23) Здесь Биркгоф почему-то считает возможным сразу рассматривать преобразования такого специального типа вместо общих, при которых
га
& = + bijVj) + ¦¦¦ ,
3=1
га
3=1
При этом преобразовании мы должны иметь:
га
3 = 1
ra
A^ + bijVj) + • • •
J=1
К главе 5
373
откуда
da* 4 dbi
I" (Л? _ ^i)aij — Or (Л? + ^i)bij — 0
и, далее,
aij = a0^-^, bij = ^e<Ai+A^ (i, j = 1, ... , m).
Принимая во внимание, что между числами Ai, ... , \т и 27Гл/^Т/т нет линейных соотношений с целыми коэффициентами и что функции a{j(t) и bij(t) должны быть периодическими с периодом т, заключаем отсюда, что
он = = const (г = 1, ... , т),
a>ij = 0 (г, j = 1, ... , га; г / j),
bij = 0 (г, j = 1, ... , т).
Аналогичным образом усматриваем, что
Cij =0 (г, j = 1, ... , m),
da = const (г = 1, ... , га),
dij = 0 (г, j = 1, ... , га; i / j).
24) См. предыдущее примечание.
25) Биркгоф рассматривает здесь лишь те преобразования, при которых г}} = (;* (i = 1, ... , п), коль скоро r]i = ?* (i = 1, ... , га). Это законно, так как именно эти преобразования соответствуют вещественным преобразованиям первоначальных вещественных координат.
26) При выводе этого уравнения существенное значение имеет то, что Ui и Ui разлагаются по степеням ?jTfj и соответственно в силу чего в этих разложениях отсутствуют члены, линейные в rjj и
Щ'
27) В самом деле, как мы видели выше, постоянные члены в hi и ki суть сопряженные комплексные числа.
28) См. А. М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости движения, 2-е изд., Ленинград, 1935.
374
Примечания редакции
К главе 5
1) Этот факт может быть доказан гораздо проще и строже. Легко убедиться, что предел у при t —Ь оо равен нулю.
В самом деле, обозначая через К наибольшее значение абсолютной величины функции t в рассматриваемом квадрате и принимая во внимание, что ^ = /(ж, у), имеем:
y(t) > \y{tl)
при
y(ti)
2 К '
О < ti <С t <С t\ +
Отсюда в силу того, что ^ = г/, следует, что
x(t2) -xih) > ,
где
, y{ti)
h ~ h + W
Тем более мы имеем при всяком t > О
у2 < 4К(х — ж),
так как ж — возрастающая функция t. А так как ж стремится к х при t —> оо, то отсюда и следует, что у —> 0.
Далее легко доказать, что ж = 0. Допустив противное, мы имели бы в силу непрерывности функции /(ж, у):
