Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
22) Этот нормальный вид Pi состоит здесь в том, что линейная часть Pi сводится к pi.
23) В действительности piq[ переходит с точностью до полной производной не в Piq'i, а в — у/—1р^ Множители — 1 не мешают в
дальнейших выкладках, если все пары (рг*, qi) являются комплексными сопряженными, так как тогда весь варьируемый интеграл можно умножить на \/—1- Они, однако, являются нежелательными, если не все пары (р*, </*), а лишь некоторые из них являются комплексными сопряженными.
Аналогичные обстоятельства имеют место при преобразованиях, применяемых в § 7 и 11. Именно из-за этих обстоятельств эти преобразования непригодны в общем случае для приведения рассмотренных там проблем к нормальной форме.
24) Здесь это легко вытекает из следующего рассуждения. В § 5 было доказано, что при отсутствии кратных «множителей» любая задача обобщенного равновесия приводится к такой, для которой уравнения вариации имеют постоянные коэффициенты, посредством линейного преобразования зависимых переменных с коэффициентами, периодически зависящими от t с периодом т. При этом преобразовании сохраняется пфаффова форма дифференциальных уравнений согласно § 12 главы II. (То обстоятельство, что преобразование содержит ?, не отражается на этом факте.) Нетрудно также видеть, что сохраняются и «множители». Пусть в самом деле преобразование от старых переменных Ж1, ... , Х2ш к новым Ж1, ... , Х2т выражается матричным равенством
х = Ах,
где А — невырождающаяся матрица с периодическими коэффициентами. Пусть матрица
Ун 2/1, 2т
У2т, 1 У2т, 2т
дает фундаментальную систему решений уравнений вариации преобразованной системы таким образом, что каждый ее столбец соответствует отдельному решению. Полагая тогда
Y = AY,
(1)
366
Примечания редакции
получим аналогичную матрицу У, дающую фундаментальную систему решений первоначальных уравнений вариации.
В силу периодичности коэффициентов этих уравнений имеем:
Y(t + r)=Y(t)C, (2)
где С — матрица с постоянными коэффициентами.
Из равенств (1) и (2) заключаем, что
Y(t + т) = Y(t)C.
Отсюда следует, что «множители» обеих систем уравнений вариации — первоначальной и преобразованной — являются инвариантами одной и той же матрицы С. А так как новая система имеет постоянные коэффициенты и соответствует пфаффовой проблеме, то согласно § 10 (см. примечание 16 к главе III) «множители» обеих систем могут быть разбиты на пары вида (Л, —Л).
Следует отметить, что предположение об отсутствии кратных «множителей» и здесь является излишним. В самом деле, в предыдущем рассуждении мы лишь в одном месте пользовались этим предположением — при ссылке на доказанную в § 5 возможность приведения системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами посредством надлежащего линейного преобразования зависимых переменных с периодическими коэффициентами. Но эта возможность имеет место во всех случаях, как доказано, например, в цитированной монографии А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (см. в особенности § 47 главы III этой монографии).
Таким образом, разбиение «множителей» на пары вида (А, —А) осуществимо для всех случаев пфаффовой задачи обобщенного равновесия.
Другое доказательство этого утверждения читатель найдет в цитированной статье Винтнера.
К главе 4
1) Ср. примечание 14 к главе III.
2) Точнее говоря, если А& ф j[ где / — целое число.
К главе 4
367
3) Рассуждение, приведенное Биркгофом для доказательства этого утверждения, логически неправильно. В самом деле, он исходит из предположения, что все 2га «множителей» различны между собой, и доказывает, что тогда среди них имеются два, равных нулю. Но отсюда следует только то, что все множители не могут быть различными.
Действительное доказательство существования равных нулю множителей содержится в непосредственно следующем тексте, где устанавливается существование нетривиального периодического решения уравнений вариации. Из факта существования такого решения существование одного, равного нулю множителя непосредственно следует согласно теореме, приведенной в примечании 1 к главе III. Второй, равный нулю множитель существует в силу общей теоремы о разбиении множителей на пары (Л, —Л) (см. примечание 24 к главе III).
4) Это решение не тривиально, так как случай обыкновенного равновесия исключен из рассмотрения.
5) Существование аналитического семейства периодических решений с параметром с можно доказать, пользуясь вводимыми в конце этого параграфа новыми переменными и применяя изложенный в § 9 метод аналитического продолжения Пуанкаре. При этом на исходное периодическое движение накладываются некоторые ограничения.
6) В действительности решение уравнений, получаемое таким образом, вообще говоря, не будет периодическим, так как в семействе периодических решений с параметром с период в общем случае будет зависеть от этого параметра.
Рассмотрим, например, гамильтонову динамическую систему одной степени свободы с гамильтоновой функцией Н = (р2 + q2)2. Общее решение уравнений Гамильтона имеет здесь вид
