Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
о
dr ’ dr ’ dr
_ р - п dr
дР + dQ = о
др dq
хСм. главу VI моей книги «Динамические системы».
310
Приложения
С точки зрения топологии трансляционную теорему Браувера о преобразованиях плоскости можно рассматривать как трактующую вопрос о топологических отображениях сферы с одной единственной инвариантной точкой. Аналогичным образом надлежащее обобщение теоремы Пуанкаре1 бросает свет на морфологию любого такого преобразования с двумя инвариантными точками. Важный новый метод исследования, изобретенный Керекьярто(4), как кажется, дает возможность рассматривать эти и другие подобные вопросы на общей основе.
хСм. мою статью «Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре» в Acta mathematica, 47, 1925, 297. (См. перевод статьи в этой книге. — Ред.)
Некоторые проблемы динамики1
Со времен Хилла и Пуанкаре стараются охарактеризовать движения динамических систем в их общих качественных чертах. Эта последняя фаза развития теоретической динамики представляет большой интерес для математика. Важность качественных динамических идей для точных наук едва ли может быть переоценена. Для пояснения этих идей я вкратце рассмотрю несколько простых примеров. После такой подготовки я хочу привлечь внимание к некоторым нерешенным динамическим проблемам.
Весьма важной является, например, не совсем определенная идея о том, что любое устойчивое движение динамической системы либо является периодическим, либо совершается вблизи периодического движения. Чтобы иметь дело с очень простым случаем, рассмотрим движение частицы Р по прямой под влиянием силы /, зависящей только от положения и скорости частицы2. Мы будем предполагать, что на прямой имеется только одно положение равновесия О. Если тогда х означает расстояние OP, at — время, то мы имеем уравнение:
d2x _ f ( dx\ df -*\х’ dt)'
где / — заданная функция. Так как рассматриваемое движение устойчиво, то
М ^ м, \у\ ^ м
при t ^ 0, где у = dx/dt. Но вышеприведенное уравнение второго по-рядка сейчас же ведет к двум уравнениям первого порядка:
di= у' ~dt= у)’
где х и у рассматриваются как прямоугольные координаты. Движениям соответствуют кривые, однократно заполняющие плоскость. Равновесие в О соответствует точечной кривой х = у = 0, которую мы также будем обозначать через О.
этой статье приводится содержание двух докладов, которые автор читал в качестве гостя в Берлинском университете 30 нюня и 3 июля 1928 г.
2Этот пример, как и другие здесь приведенные, подробно рассмотрен в моей книге «Динамические системы». Там же даны дальнейшие литературные указания.
312
Приложения
При у > 0 каждая точка движется по своей кривой направо, так как dx/dt > 0. При у < 0 каждая точка движется налево. На оси х каждая точка движется в направлении оси у или в противоположном направлении. Рассматриваемое устойчивое движение соответствует кривой, лежащей при t ^ 0 в квадрате \х\ ^ М, \у\ ^ М.
Рассмотрим прежде всего простейший случай, когда движущаяся точка ни разу не пересекает ось х. Здесь имеется лишь одна возможность: точка приближается к положению равновесия при бесконечном возрастании t, как показано на рис. 13а.
Рис. 13
Рис. 13Ь, с соответствует одному или двум переходам через ось. При двух переходах точки перехода лежат по разные стороны от положения равновесия, так как по одну сторону направление везде одно и то же. Мы имеем здесь движение частицы Р, которая один или два раза колеблется через положение равновесия, чтобы потом начать приближаться к нему. При трех переходи0* дах А, В, С, очевидно, что С лежит
не только по ту же сторону, что и А, но и между О и А (рис. 14). Здесь частица трижды проходит через положение равновесия, причем третье колебание меньше первого. После этого Р приближается к этому положению. Эти процессы можно продолжить. Мы должны иметь или конечное число убывающих колебаний с последующим приближением к положению равновесия, или бесконечно много колебаний. В этом последнем случае движение или в точности периодическое, или колебания возрастают, приближаясь к периодическому движению, или они убывают с приближением к периодическому движению, или, наконец они убывают с приближением к положению равновесия. Общая идея о связи между устойчивостью и периодичностью оправдывается, таким образом, по крайней мере в этом частном случае.
При более глубоком рассмотрении этой идеи выявляются некото-
Некоторые проблемы динамики
313
рые «центральные движения» и «рекуррентные движения» как действительные обобщения периодических движений.
В классической динамике дифференциальные уравнения обычно имеют гамильтонов или канонический вид. В простейшем случае одной степени свободы два дифференциальных уравнения таковы:
где Н (энергия) есть заданная аналитическая функция р и q. Умножая эти два уравнения на дН/др и dHjdq и складывая, убеждаемся сейчас же, что в плоскости р, q точка движется по кривой Н = const. Поэтому движение должно быть либо неустойчивым, либо периодическим, либо приближающимся к положению равновесия (р0, Qo)- Пользуясь, далее, интегралом Н = const можно интегрировать эти дифференциальные уравнения.
