Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
равен единице.
Таким образом, динамической задаче соответствует некоторое сохраняющее площади преобразование Т плоскости (р, q) в самое себя,
dP.dQ.dR
dp dq дг
О динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре 307
имеющее инвариантную точку в начале координат. Каждому важному свойству динамической системы, касающемуся движений вблизи данного периодического движения, соответствует некоторое свойство преобразования Т.
Если Н является аналитической функцией от р, д, г, то pi, qi будут аналитическими в р, q. Подобным же образом, если Н непрерывно вместе со всеми своими частными производными любого порядка, то Pi 5 Qi будут иметь непрерывные частные производные любого порядка по р, q.
Теперь возникает интересный вопрос о том, существует ли обратно динамическая задача рассматриваемого типа для каждого такого преобразования Т. В связи с этим мы докажем следующую теорему.
Если равенства
pi = <р(р, q), 4i = Ф(р, ч)
определяют сохраняющее площади преобразование Т плоскости (р, q) в самое себя и если функции ф и все их частные производные любого порядка непрерывны, причем начало координат является инвариантной точкой преобразования Т, то существует соответственная динамическая система (1), такая, что функция Н непрерывна вместе со всеми своими частными производными любого порядка по р, д, т и при этом является периодической функцией г периода 2п.
Было бы чрезвычайно интересно доказать подобную же теорему для аналитических функций.
В окрестности начала координат преобразование Т, переводя-щее (р, q) в (pi, #i), является существенно^) аффинным преобразованием с определителем единица. Соответствующее линейное преобразование может быть получено посредством одно-однозначной аналитической деформации (вращения или растяжения), переводящей каждую точку (р, q) в ее образ (рх, дх) при изменении параметра г от 0 до 27г(2). На эту деформацию может быть наложено очень малое смещение с составляющими
^(Рг-Рг),
Получающееся преобразование зависит от параметра г, оставляет на месте начало координат, одно-однозначно преобразует окрестность последнего в самое себя и переводит точку (р, q) в точку (pi, qi), когда г возрастает от 0 до 27г.
При изменении г от 0 до 27т точки (р, д, г) описывают дуги кривых, соединяющие (р, д, 0) с (pi, gi, 27г) таким образом, что г на них возрастает и что вся окрестность оси г для 0 ^ г ^ 27т заполнена этими кривыми одно-однозначным образом. Если мы присоединим к этим
308
Приложения
дугам все дуги, получаемые при параллельном переносе пространства на расстояние 2ктт (к = ±1, ±2, ...) в направлении оси г, то все пространство (р, д, г) в окрестности оси г будет заполнено кривыми, состоящими из таких дуг. Уравнения этих кривых имеют вид:
Р = f(r), q = g(r),
где fug непрерывны вместе со всеми своими производными во всех точках, за исключением точек плоскостей г = 0, ±27г, ..., где производные могут совершать конечные скачки.
Произведем теперь деформацию области 0 ^ г ^ 27т пространст-ва (р, д, г) в направлении оси г по формуле:
г 1
г = к0 ер{р~2жЫр,
где постоянная ко выбрана так, чтобы при р = 27т, г также равнялось бы 27Г. Очевидно, что г определяется как функция от р, непрерывная вместе со всеми своими производными при 0 ^ р ^ 27Г, причем при р = 0 и р = 27г все эти производные обращаются в нуль.
Если мы произведем эту деформацию области 0 ^ г ^ 27т пространства (р, д, г) одновременно с такими же деформациями областей
2ктт ^ г ^ 2(к 4- 1)7Г (к = ±1, ±2, ...),
то мы получим преобразованную систему кривых, для которых соответственные функции fug будут уже всюду непрерывными вместе со всеми своими производными.
Пусть теперь каждая точка Р движется вдоль своей кривой с составляющей скорости по оси г, равной единице. Любая площадка а на плоскости т — 0 переходит при этом в площадку бт0 на плоскости т — То> Мы имеем здесь
JJ dp dq = J J J dp dq,
a a о
где J означает соответствующий якобиан. Отсюда, очевидно, следует, что тройной интеграл
JJJ J (р, q, г) dp dq dr
инвариантен. Здесь функция J не только непрерывна вместе со своими производными, но и периодична относительно г с периодом 27т, так как по предложению J(p, g, 27г) = 1.
О динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре 309
Определим теперь деформацию пространства (р, q, г) в направлении оси q равенством
Это преобразование, очевидно, периодично в желательном смысле и оставляет на своих местах точки плоскостей r=2kn (k=0, =Ь1, ±2, ...). В новых переменных инвариантный интеграл запишется просто как обычный объемный интеграл JJJ dp clq dr.
Соответствующие дифференциальные уравнения имеют вид:
где Р, Q суть функции от р, q, г, непрерывные вместе со всеми своими производными любого порядка и периодические с периодом 2ж относительно г. Так как объем инвариантен, то мы имеем
Но эго означает, что существует функция Н того же типа, для которой
Другими словами, данное преобразование, сохраняющее площади, соответствует динамической задаче рассматриваемого типа.
Это замечание показывает, что в случае преобразования, рассматриваемого Пуанкаре в его последней геометрической теореме, свойство сохранять площади действительно является характерным для этого преобразования. Оно показывает также, как динамическая задача может приводить скорее к рассмотрению преобразования вблизи инвариантной точки или вблизи замкнутой инвариантной кривой, в которую такая точка может быть растянута, чем к преобразованию, определенному во всем кольце, как требуется в теореме Пуанкаре. По этой именно причине я видоизменил теорему Пуанкаре, распространив ее на преобразования этого более общего типа, которые представляются более пригодными для многих динамических приложений. Действительно, более подробное рассмотрение этих приложений показывает, что для многих целей видоизмененная теорема Пуанкаре достаточна, если только аналитические детали исследованы1.
