Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Регулярная и хаотическая динамика. Том 8" -> 112

Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.

Козлов В.В., Борисов А.В., Данилов Ю.А. Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 — НИЦ РХД, 1999. — 407 c.
Скачать (прямая ссылка): regulyarnayaihaoticheskayadinamika1999.pdf
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 147 >> Следующая

Исходя из этой минимальной цепи, мы можем построить вспомогательное преобразование Е, обладающее свойствами, указанными в лемме 2.
Тогда при рассмотрении преобразования ТЕ, как и раньше, получается последовательность колец CCi, С1С2, ..., с той лишь разницей, что теперь две границы какого-либо из них могут касаться друг друга в одной точке.
Точки Р0 и Pi могут быть, как и ранее, соединены дугой, содержащейся в кольце Со Ci, и, таким образом, как в лемме 3, получается вспомогательная кривая
PqPi . . . Pn-lQoPnQl-
Теперь эта кривая может, однако, иметь двойные точки, так как последовательные кривые С, Ci, С2, ... могут иметь общие точки. В двойных точках вспомогательная кривая не пересекает самое себя. Она, разумеется, не может проходить через инвариантную точку К, лежащую вне последовательности колец.
Продолжая теперь, как § 7, будем рассматривать rot АА\ вдоль кривой PqQo, гДе А\ есть образ точки А при отображении ТЕ. Способ выбора функции S(&) обеспечивает, что точка Ai всегда отлична от А. Поэтому, как и раньше, мы убеждаемся, что этот поворот положителен вдоль вспомогательной кривой, и что он остается положительным при параметрическом преобразовании ТЕ\, когда А убывает от 1 до 0. Таким образом, rot AAi положителен вдоль этой кривой, если А1 означает образ точки А при преобразовании Г. Он положителен поэтому и вдоль всякой кривой, пересекающей R и получаемой из PqQo посредством непрерывной деформации, такой, что деформируемая кривая никогда не проходит над К. Но если даже эта кривая и проходит над К, то на rot AAi это не может отразиться, так как вращение вокруг К равно 0. Следовательно, rot A4i положителен вдоль всякой кривой, пересекающей R.
304
Приложения
Переходя к Т-1, мы заключаем, что rot А\А = rot АА\ отрицателен, и, таким образом, приходим к противоречию.
Этим теорема установлена.
Простое обобщение приведенного рассуждения показывает, что либо существуют две инвариантные точки, для которых rot AAi отличен от 0, или же существует бесконечное множество инвариантных точек.
О динамической роли последней геометрической теоремы Пуанкаре1
Рассмотрим динамическую систему с одной степенью свободы. Уравнения движения в канонической гамильтоновой форме будут иметь вид:
где Н — Н(р, q) есть функция от р и q. Из условия постоянства энергии Н(р, q) решение системы может быть получено посредством одной квадратуры. Следовательно, этот случай не представляет никакого особого интереса.
В случае двух степеней свободы предположим, что уравнения движения даны в гамильтоновой форме
где Н = H(pi, gi, Р2, Будем рассматривать pi, qi, р2, q2 как координаты точки в четырехмерном пространстве. В окрестности периодического движения, соответствующего некоторому значению интеграла энергии, точки (pi, gi, р2, #2), соответствующие тому же значению интеграла энергии, заполняют трехмерный тор. Как известно, задача может быть здесь сведена к случаю обобщенной гамильтоновой системы с одной степенью свободы, а именно:
где Н = Н(р, д, г), причем г — угловая переменная периода 27т, измеряющая расстояние между двумя точками вдоль трехмерного тора. Данное периодическое движение можно считать соответствующим значениям р = q = 0.
Мы можем представить эту систему в следующем виде:
dp = _№ dq = дН
dt dq ’ dt dp ’
dpi = dtf dqi = dH
dt dqi ’ dt dpi
dp = _9tf dq = dH
dr dq ’ dr dp ’
(i)
(2)
1Лекция, прочитанная автором 8 июня 1928 г. на заседании математического семинара университета в Сегеде.
306
Приложения
где
_ _№ п_дН dq ’ 4 др’
причем и Р и Q переменная т должна быть заменена на г.
Будем рассматривать р, q7 г как прямоугольные координаты точки в трехмерном пространстве.
Предыдущие уравнения определяют направление линии тока в любой точке пространства. Движения динамической системы изображаются линиями тока трехмерной жидкости, находящейся в стационарном движении.
Рассмотрим плоскости г = 0иг = 2л. Две точки этих плоскостей, имеющие одинаковые координаты р и д, мы будем считать совпадающими; они соответствуют одному и тому же состоянию движения, вследствие периодичности переменной т.
Возьмем в плоскости г = 0 точку Р с координатами (р, q) и проследим линию тока, исходящую из Р до точки Pi с координатами (pi, gi), лежащей в плоскости г = 2л. Соотнося таким образом каждой точке Р соответствующую точку Pi, мы получаем преобразование Т плоскости (р, q) в самое себя. Для этого преобразования начало координат является инвариантной точкой.
Преобразование Т обладает двумя важными свойствами. Во-первых, функции Р, Q, R удовлетворяют соотношению
Это означает, что поток, для которого Р, Q, R суть составляющие скорости, является потоком несжимаемой жидкости.
Во-вторых, если мы рассмотрим маленькую замкнутую кривую в плоскости г = 0 и цилиндр высоты /г, ограниченный линиями потока, проходящими через точки этой кривой, и плоскостями г = 0 и г = /г, то через промежуток времени 2л этот цилиндр перейдет в подобный же цилиндр высоты h с площадью основания <ti, равной площади, ограниченной первоначальной кривой. Это есть следствие несжимаемости. Другими словами, преобразование Т сохраняет площади. Следовательно, якобиан
Предыдущая << 1 .. 106 107 108 109 110 111 < 112 > 113 114 115 116 117 118 .. 147 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed