Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь необходимо отметить полную симметрию вхождения Т и Т-1 в предположение и заключение 5-теоремы. Благодаря этому, мы можем принять обратное преобразование Т-1 за основное, причем R и #i, Г и Ti просто поменяются ролями. Кроме того, преобразования Т-1 передвигает точки кривых С и Гь в противоположных направлениях относительно $. Для определенности мы считали, что в плоскости прямоугольных координат гит? преобразование Т передвигает точки кривой С вправо, а точки кривой Г влево. Следовательно, преобразование Т-1 переводит в этой же плоскости точки кривой С влево, а точки кривой — вправо.
Принимая во внимание это небольшое изменение, мы приходим к заключению, что полный угловой поворот вектора, проведенного из точки В к ее образу В-1, при преобразовании Т~1 отрицателен вдоль всякой кривой, пересекающей кольцо R±.
Но когда В пересекает iZi, В-1, разумеется, пересекает R и В-1 можно принять за точку А. Отсюда мы заключаем, что rot АА\ отрицателен при движении точки А вдоль любой кривой, пересекающей R.
Это нелепо, так как полный поворот вектора А\А в точности равен повороту вектора AAi, положительному при тех же условиях согласно доказанному.
Следовательно, 5-теорема доказана.
§ 8. Завершение доказательства. Условия теоремы, формулированной в § 2, включают условия 5-теоремы, и, кроме того, мы можем считать исключенной вторую возможность 5-теоремы при всяком положительном 5. Итак, при всяком положительном 5 существует точка Р кольца R, переходящая при преобразовании Т в точку Т(Р) кольца iZi, лежащую на той же радиальной полупрямой и отстоящую от Р не более чем на 5. Последовательность таких точек с 5, стремящимся к нулю, очевидно, имеет по меньшей мере одну предельную точку, которая принадлежит R и i?i, и инвариантна при Т. Таким образом, существование хотя бы одной инвариантной точки установлено.
302
Приложения
Перейдем теперь к вспомогательной плоскости, в которой г и $ являются прямоугольными координатами. Пусть точка А совершает полный обход в положительном направлении вокруг части полосы Д, содержащейся между двумя параллелями к оси г, лежащими на расстоянии 27г друг от друга. Ясно, что rot АА\ при таком обходе равен нулю, так как на дугах кривых С и Г повороты равны нулю, а повороты, соответствующие двум другим частям контура, взаимно уничтожаются.
Очевидно, что этот контур содержит внутри себя каждую инвариантную точку только однажды. Поэтому полный поворот равен алгебраической сумме поворотов, соответствующих обходам вокруг каждой инвариантной точки в отдельности по маленьким контурам, окружающим эти точки1. Но для простой инвариантной точки такой поворот по определению равен =Ь27Г. Следовательно, имеются или по меньшей мере две различные инвариантные точки или же одна кратная инвариантная точка К с вращением $.
В общем случае посредством этого рассуждения, принадлежащего Пуанкаре, из существования одной инвариантной точки следует существование второй. Доказательство же того, что всегда существует вторая инвариантная точка, отличная от первой, значительно сложнее предыдущего доказательства.
Мы допустим, что существует одна и только одна инвариантная точка К, и посредством небольшого обобщения нашего прежнего рассуждения покажем, что тогда получается противоречие.
Вместо того, чтобы рассматривать закрепленное положительное число мы будем применять ?($), изменяющееся при переходе от одной радиальной полупрямой к другой. Выражение «направленное наружу радиальное перемещение точки Р на величину, меньшую, чем Л, относится теперь к значению ? для радиальной полупрямой, проходящей через Р. При ? = 0 точка Р остается неподвижной. Очевидно, что и относительно такого переменного S($) могут быть определены ?-цепи и минимальные ?-цепи.
В нашем случае мы выберем S малым и положительным, за исключением единственной радиальной полупрямой, проходящей через единственную инвариантную точку К. Далее, функцию очевидно, можно взять непрерывно зависящей от $ и меньшей расстояний от Р до Т(Р) и от Т(Р) до К для всякой точки Р, лежащей на соответствующей радиальной полупрямой, причем эти расстояния измеряются на плоскости прямолинейных координат г и $.
Если ? выбрать таким образом, то инвариантная точка К не может входить в состав какой-либо ?-цепи, так как в противном случае она по-
1 Случай существования бесконечного множества инвариантных точек может быть исключен из рассмотрения.
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре 303
лучилась бы из предшествующей точки РфК посредством перемещения точки Т(Р) на расстояние, меньшее расстояния между Т(Р) и К.
Лемма 1 по-прежнему имеет место для этого слегка видоизмененного типа J-цепей, с той лишь разницей, что теперь внешняя граница кольца Е может касаться круга С в точке пересечения этого круга с радиальной полупрямой, проходящей через К. Но при исключении второй возможности, указанной в формулировке теоремы, такой области Е не может существовать. Следовательно, существуют конечная J-цепь и минимальная J-цепь Р0> Pi, 5 Рп, соответствующая рассматриваемой функции <$(#).
