Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, 5 + 5 во всех случаях образует кольцо ?, обладающее свойствами, указанными в лемме 1. Доказательство, таким образом, завершено.
§ 4. Минимальные ?-цепи. Допустим теперь, что существует хотя бы одна конечная ?-цепь. Тогда имеется наименьшее натуральное
294
Приложения
число п, для которого существует 5-цепь Ро, Pi, ... , Рп, такая, что Рп лежит вне R.
Такие минимальные 5-цепи обладают некоторыми интересными свойствами. Очевидно, например, что точка Pi такой цепи принадлежит Mi, но не принадлежит Mj при j < ц в противном случае можно было бы сейчас же построить 5-цепь с меньшим числом элементов. Таким образом, Ро есть единственная точка 5-цепи, принадлежащая <7; Pi есть единственная точка 5-цепи, принадлежащая открытому кольцу а < г < а + 5 и т. д.
Единственное другое свойство, которое нам понадобится, немногим менее очевидно: если Pi и Pj (i ^ 1, j ^ 1) лежат на одной и той же радиальной полупрямой, то T(P*_i) и T(P,_i) лежат на той же радиальной полупрямой, и притом в том же радиальном порядке, что Р* и Pj. Чтобы установить это, заметим, что Т(Р*_i) и T(Pj_i) не совпадают, так как иначе совпадали бы Р{-\ и Pj-i, благодаря чему можно было бы выпустить все точки цепи между P^-i и Pj-i, а также одну из этих точек. Это невозможно. По той же причине Pi не совпадает с Pj.
Допустим теперь, что точка T(P^_i) имеет координату г, меньшую, чем координата г точки T(P?_i). Это условие будет, конечно, выполнено при надлежащем выборе обозначений г, j. Единственно возможный радиальный порядок четырех рассматриваемых точек, не согласующийся с доказываемым утверждением, таков:
T(Pi_1), TiPj-i), Pj, Pi, где радиальная координата возрастает слева направо. В самом деле, точка Pi должна лежать дальше от начала координат, чем Pj, a Pj в свою очередь лежит не ближе, чем T(Pj_i). (Здесь допустимо, что T(Pj-i) совпадает с Pj.) Но тогда очевидно, что точка Pj может быть получена из T(P{-i) посредством направленного наружу радиального перемещения на расстояние, меньшее, чем 5, и что точка Pi таким же образом может быть получена из T(Pj_1). Это следует из того, что радиальное расстояние между T(P*_i) и Pi меньше 5. Следовательно, Pj принадлежит Mi, a Pi принадлежит Mj. Но ранее доказанное свойство исключает одну из этих возможностей. Поэтому имеет место указанный порядок расположения точек.
§ 5. Вспомогательное преобразование Е. Лемма 2. Пусть теперь Р0, Pi, ... , Рп будут точки какой-либо 5-цепи. Из только что установленного свойства непосредственно следует, что если Pi, Pj, Р&, ... (г ^ 1, j ^ 1, к ^ 1, ...) суть точки этой цепи, лежащие на данной радиальной полупрямой, то T(P*_i), T(P,_i), T(Pk~i), ... лежат в том же радиальном порядке.
Теперь представим себе точку Q, движущуюся наружу от г = а по этой радиальной полупрямой. Почти очевидно, что одновременно
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре
295
можно двигать вторую точку Q по той же самой полупрямой таким образом, чтобы радиальная координата Q все время была не меньше радиальной координаты Qy но никогда не превосходила бы последнюю на величину, большую или равную и чтобы при совпадении точки Q с Т(Р{-1), T(Pj-1), T(Pk~i), ... точка Q совпадала бы соответственно с Ри Pj, Pfc, ...
Рис. 11
Графически это обстоятельство можно следующим образом сделать более очевидным. Пусть 7*1, г2, ... — радиальные координаты точек T(Pi-1), T(Pj_i), ..., расположенные в возрастающем порядке; si, 6*2, ... — соответственные координаты точек Pi, Pj, ... Имеют место неравенства:
Г1 < Г2 < Г3 < . . .
Si < S2 < S3 < • • *
О ^ si — ri < 5,
О ^ 6*2 — г2 < S, ...
Рассматривая (7*1, si), (^2, 6*2), ... как пары декартовых координат точек плоскости, соединим эти точки последовательно прямолинейными отрезками (см. рис. 11) и продолжим таким образом полученную ломаную линию вправо и влево от ее концов прямолинейными отрезками, образующими угол 45° с положительной осью г. Эта ломаная линия даст график функции s = f(r). Если рассматривать г как радиальную координату точки Q, a s как радиальную координату точки Q, то определяемое этим соответствие между Q и Q обладает желаемыми свойствами.
Q может совпадать с Q при г = а, причем, однако, в этом слу-
296
Приложения
чае Q не является точкой T(P*_i); иначе точка Q совпадала бы с Т(Ро), a Q — с точкой Pi, отличной от Q. Заменяя в этом случае прямолинейную часть графика для г i\ другим, менее наклонным отрезком, мы получим измененное соответствие, при котором Q не будет совпадать с Q при г = а. В дальнейшем удобно предполагать, что соответствие удовлетворяет этому условию.
Таким образом, на каждой радиальной полупрямой, содержащей точки Рг, Pj, ..., минимальной ?-цепи определяется непрерывное однооднозначное, направленное наружу радиальное перемещение на расстояние, меньшее <5, переводящее каждую точку T(P*_i), T(Pj_i), ... в соответственную точку Р;, Р,, ...
Все эти линейные радиальные перемещения могут быть выполнены посредством одного, определенного при г ^ а, непрерывного однооднозначного, направленного наружу радиального перемещения плоскости на расстояние, меньшее 8. В самом деле, представим себе, что перпендикулярно к плоскости чертежа (рис. 11) восстановлена третья координатная ось $ и что все графики расположены в соответствующих плоскостях д = const. Эти ломаные линии все поднимаются в направлении возрастающих г, а в вертикальном направлении лежат над плоскостью s = г на расстоянии, меньшем, чем 8. Соединим прямолинейными отрезками пары точек соседних графиков с одинаковыми координатами г. Этим, очевидно, определяется функция s = /(г, $), порождающая радиальное перемещение Е желаемого характера.
