Регулярная и хаотическая динамика. Том 8 - Козлов В.В.
Скачать (прямая ссылка):
^-теорема. Если всякая радиальная полупрямая $ = const пересекает каждую из кривых Г и лишь в одной точке и если преобразование Т перемещает точки кривых С и Г в противоположных угловых направлениях (относительно $), то для всякого 8 > 0 либо в R существует точка Р, такая, что Т(Р) лежит на той же радиальной полупрямой, что и Р, причем расстояние между этими точками меньше 8, либо в R (или в Ri) содержится открытое кольцо Х; опирающееся на С и переходящее при преобразовании Т (или Т-1) в кольцо, лежащее в ? и радиально отстоящее не меньше чем на 8 от границы кольца Е в направлении наружу.
Чтобы установить эту теорему, очевидно, достаточно доказать, что если никакой области Е не существует, то должна существовать точка Р.
Если никакой области Е не существует, то согласно лемме 1 существуют конечные <5-цепи, и тогда согласно леммам 2 и 3 существует вспомогательное преобразование Е и кривая Р$Р\ ... Pn-iQoPnQi*
Теперь представим себе точку А, движущуюся по этой кривой от Р0 к Qo- Ее образ при преобразовании ТЕ, которую мы обозначим через Al, движется при этом от Pi к Q. В плоскости прямоугольных координат г, $, вектор AAi (рис. 12) вращается в течение этого процесса на определенный угол, который мы обозначим через rot AAi.
Для определенности допустим, что координата $ точек круга С увеличивается при преобразовании Т. Тогда согласно предположению координата $ точек кривой Г должна уменьшаться при Т. Если обозначить через а положительный острый угол, образуемый вектором Po^i с положительной осью #, а через (3 — лежащий между 7г/2 и 37г/2 угол, образуемый с этой же осью вектором QoQi, то ясно, что интересующий нас поворот либо равен (3 — си, либо отличается от /3 — а на целое кратное 2тт. Для последующего чрезвычайно важно установить, что этот поворот в точности равен j3 — а(3).
Допустим, что пересекаемая вспомогательной кривой P$Q\ полоса, ограниченная кривыми С и Е(Тi), деформируется посредством чисто радиального перемещения таким образом, что кривые Е(С) и ?7(Гi) (из которых и вторая непрерывна и пересекает лишь в одной точке всякую радиальную полупрямую, в силу предположения относительно Ti) переходят в прямые линии г = Ъ и г = с, тогда как прямая С остается неподвижной. В течение этой деформации rot АА1у взятый вдоль деформируемой кривой, будет изменяться непрерывно. Следовательно,
300
Приложения
угол /3 — а, измеренный прежним образом, либо все время будет точным значением rot AAiy либо будет отличаться от rot АА\ на одно и то же целое кратное 27г. Кроме того, а и (3 будут удовлетворять прежним неравенствам
0 < а < |, § </3<
Предположим теперь, что вспомогательная кривая, преобразованная таким образом в кривую, пересекающую полосу а ^ г ^ с, подвергается дальнейшей деформации в этой полосе, причем точки Р0, Pi, Qо, Q\ остаются закрепленными. Ясно, что благодаря непрерывности изменения rot АА\ доказываемое равенство будет все время соблюдаться или все время нарушаться, если только кривая не приобретает при деформации кратных точек.
Но в начальном положении дуга PqPi пересекает полосу а ^ г ^ 6, тогда как P\Q\ лежит вне этой полосы. Следовательно, дугу Р$Р\ можно деформировать в этой полосе в прямолинейный отрезок Р$Р\. Далее, дуга PiQoQi пересекает полосу b ^ г ^ с и, очевидно, может быть деформирована в ломаную линию PiQoQi без изменения положения точек Pi, Qq и Qi- Таким образом, посредством законного изменения мы получаем ломаную линию P0P1Q0Q1? где указанные точки расположены в порядке возрастающей координаты г, в то время как у точки Pi координата $ больше, чем у точки Ро, а у точки Qi координата $ меньше, чем у точки Qо.
В этом нормальном положении пригодность выражения /3 — а для rot АА\ очевидна. Следовательно, и для исходной вспомогательной кривой оно пригодно, как бы сложна ни была эта кривая.
В силу неравенств, которым подчинены (3 и а, мы заключаем отсюда, что voiAAx положителен при движении точки А от Р0 к Qо по вспомогательной кривой.
Рассмотрим теперь измененное преобразование ТЕ\, где Е\ означает радиальное перемещение, передвигающее каждую точку на расстояние в Л раз большее, чем при преобразовании Е. Таким образом, Е\ есть то же самое, что Р, тогда как Р0 есть тождественное преобразование, при котором каждая точка остается на месте. Если обозначить ТЕ\(А) через А\, то ясно, что при уменьшении Л от 1 до 0 rot АА\ будет меняться непрерывно, если только А и Ai не совпадут при каком-нибудь Л. Но это дало бы точку Р такую, которая лежала бы на одной радиальной полупрямой с Т(Р). Таким образом, эту возможность больше нет надобности рассматривать. А так как при уменьшении Л точки Pi и Q1 движутся по линиям $ = const соответственно справа и слева от Ро и Qо, то неравенство rot^^i > 0 должно соблюдаться, пока Л достигнет нуля.
Обобщение последней геометрической теоремы Пуанкаре 301
Поэтому угол поворота вектора, проведенного из точки Л к ее образу Ai, при преобразовании Т = TEq, положителен, когда А движется по вспомогательной кривой PoQo- При непрерывном переводе вспомогательной кривой в какую-либо другую кривую, пересекающую кольцо R, этот поворот должен изменяться непрерывно, или же мы придем к инвариантной точке и, следовательно, к только что упомянутому случаю. Этот угол поворота никогда не равен нулю, так как согласно предположению теоремы вектор АА\ имеет составляющую по оси $ положительную, когда А лежит на С, и отрицательную, когда А лежит на Г. Таким образом, полный поворот вектора АА\ положителен вдоль всякой кривой, пересекающей R.
